Determine os pontos extremos das funções seguintes: na região ;
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos extremos da função
no domínio definido por .
Conteúdo: vamos usar cálculo de pontos críticos (gradiente nulo) e, em seguida, matriz Hessiana para classificar esses pontos (mínimo, máximo ou sela).
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
O primeiro dá
Substituindo na segunda:
logo e, portanto, .
O único ponto crítico é , que satisfaz , logo está no domínio.
Passo 3
Montamos a matriz Hessiana de :
Calculamos seu determinante:
det H = 2 cdot 16 - 24 cdot 24 = 32 - 576 = -544 < 0
Como o determinante da Hessiana é negativo, o ponto crítico é um ponto de sela.
Resposta
A única ponto crítico é (0,0), e trata-se de um ponto de sela (não há nem mínimo nem máximo).