Determine os pontos extremos das funções seguintes:
f(x, y)=x^2+24 x y+8 y^2 na região x^2+y^2 eq 25;

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos extremos da função
f(x,y)=x^2+24,x,y+8,y^2
no domínio definido por x^2+y^2neq25.
Conteúdo: vamos usar cálculo de pontos críticos (gradiente nulo) e, em seguida, matriz Hessiana para classificar esses pontos (mínimo, máximo ou sela).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partial fpartial x=2x+24y=0,
partial fpartial y=24x+16y=0
O primeiro dá
x +12y=0Longrightarrow x=-12y
Substituindo na segunda:
24(-12y)+16y=-288y+16y=-272y=0
logo y=0 e, portanto, x=-12cdot0=0.
O único ponto crítico é (0,0), que satisfaz 0^2+0^2neq25, logo está no domínio.

Passo 3

Montamos a matriz Hessiana de f:
H = fxx & fxy fyx & fyy = 2 & 24 24 & 16
Calculamos seu determinante:
det H = 2 cdot 16 - 24 cdot 24 = 32 - 576 = -544 < 0
Como o determinante da Hessiana é negativo, o ponto crítico é um ponto de sela.

Resposta

A única ponto crítico é (0,0), e trata-se de um ponto de sela (não há nem mínimo nem máximo).

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