Encontre todas as derivadas de 2^a ordem das funções abaixo, e aplique elas no ponto indicado.
f(x, y)=x^2(y+2), no ponto (4,-5).

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
f(x,y)=x^2(y+2)
e avaliá-las no ponto (4,-5). O conteúdo é cálculo de derivadas parciais de ordem superior.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
fx=partialpartial xl(x^2(y+2)r)=2x(y+2),
fy=partialpartial yl(x^2(y+2)r)=x^2

Passo 3

Agora obtemos as derivadas parciais de segunda ordem:
fxx=partialpartial xl(2x(y+2)r)=2(y+2),
fxy=partialpartial yl(2x(y+2)r)=2x,
fyx=partialpartial xl(x^2r)=2x,
fyy=partialpartial yl(x^2r)=0

Passo 4

Por fim, avaliamos cada uma dessas derivadas no ponto (4,-5):
fxx(4,-5)=2l(-5+2r)=-6,
fxy(4,-5)=2cdot4=8,
fyx(4,-5)=2cdot4=8,
fyy(4,-5)=0

Resposta

fxx(4,-5)=-6
fxy(4,-5)=8
fyx(4,-5)=8
fyy(4,-5)=0

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