Questão 3. Escreva uma equação do plano pi que passa por A(2,2,-1) e é paralelo aos vetores u=(2,-3,-1) e v=(-1,5,-3). Obter:
a) Equação vetorial do plano
b) Equações paramétricas
c) Equação geral do plano

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano pi que passa pelo ponto A(2,2,-1) e é paralelo aos vetores u=(2,-3,-1) e v=(-1,5,-3). O conteúdo aqui é geometria analítica de planos no espaço. Para resolver, vamos usar a forma vetorial do plano, depois extrair as equações paramétricas e, finalmente, obter a forma geral usando o produto vetorial para achar o vetor normal.

Passo 2

Uma forma padrão de representar um plano que passa por r0 e é paralelo a u e v é
r ;=;r0+s,u+t,v
Aqui tomamos r0=(2,2,-1), logo a equação vetorial do plano é
r=(2,2,-1)+s,(2,-3,-1)+t,(-1,5,-3)

Passo 3

Para passar à forma paramétrica, escrevemos r=(x,y,z) e igualamos coordenada a coordenada:
x=2+2s - t,
y=2-3s+5t,
z=-1 -s -3t

Passo 4

Para obter a equação geral precisamos do vetor normal n. Como n é perpendicular ao plano, podemos usar
n=utimesv
Calculando o produto vetorial:
n =l((-3)(-3)-(-1)(5),,-l(2(-3)-(-1)(-1)r),,2cdot5-(-3)(-1)r) =(9+5,,-(-6-1),,10-3) =(14,7,7)
Dividindo por 7 para simplificar, um normal equivalente é n=(2,1,1).

Passo 5

A equação geral do plano usa ncdot(r-r0)=0. Com n=(2,1,1) e r0=(2,2,-1) temos
2(x-2)+1(y-2)+1(z+1)=0
implies 2x+y+z-5=0

Resposta

a) Equação vetorial:
r=(2,2,-1)+s,(2,-3,-1)+t,(-1,5,-3)
b) Equações paramétricas:
x=2+2s - t, y=2-3s+5t, z=-1 -s -3t
c) Equação geral:
2x+y+z-5=0

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