Determine os pontos extremos das funções seguintes: na elipse .
Passo 1
O enunciado pede os extremos de
no conjunto fechado e limitado
Esse é um problema de extremos numa região compacta: primeiro cuidamos de possíveis pontos críticos no interior (onde ), depois tratamos a fronteira (onde ) usando multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Gradiente de no interior é
Para ponto crítico interior resolvemos
Dessa forma vem e então , logo . Existe só o ponto no interior, com
Passo 3
Como é forma quadrática definida positiva (os autovalores de são positivos), concluímos que é mínimo global em toda a elipse fechada, valendo
Passo 4
Para a fronteira aplicamos Lagrange:
]
Passo 5
Descartam-se as soluções triviais x=0 ou y=0. Para x,yneq0 dividimos e definimos