Determine os pontos extremos das funções seguintes:
f(x, y)=x^2+y^2+(2 raiz23) x y na elipse x^2+2 y^2 <= 1.

Passo 1

O enunciado pede os extremos de
f(x,y)=x^2+y^2+2raiz23,x,y
no conjunto fechado e limitado
x^2+2y^2<=1
Esse é um problema de extremos numa região compacta: primeiro cuidamos de possíveis pontos críticos no interior (onde nabla f=0), depois tratamos a fronteira (onde x^2+2y^2=1) usando multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Gradiente de f no interior é
nabla f(x,y)=l(2x+tfrac2raiz23y,;2y+tfrac2raiz23xr)
Para ponto crítico interior resolvemos
2x+tfrac2raiz23y=0, 2y+tfrac2raiz23x=0
Dessa forma vem x=-(raiz2/3)y e então y=0, logo x=0. Existe só o ponto (0,0) no interior, com
f(0,0)=0

Passo 3

Como f é forma quadrática definida positiva (os autovalores de
1&tfracraiz23tfracraiz23&1 são positivos), concluímos que (0,0) é mínimo global em toda a elipse fechada, valendo
fmin=0

Passo 4

Para a fronteira g(x,y)=x^2+2y^2-1=0 aplicamos Lagrange:
nabla f=lambda,nabla g ;Longrightarrow; 2x+tfrac2raiz23y=2lambda x,[6pt] 2y+tfrac2raiz23x=4lambda y,[4pt] x^2+2y^2=1 ]

Passo 5

Descartam-se as soluções triviais x=0 ou y=0. Para x,yneq0 dividimos e definimos
t=xy,
de onde obtemos a equação quadrática
t^2-3raiz2,t-2=0 Longrightarrow tinl2raiz2,,-tfrac1raiz2r

Passo 6

Caso t=2raiz2 x=2raiz2,y e da restrição 10y^2=1 vem
y=pm1raiz10, x=pm2raiz55
Em cada sinal correspondente,
f=910+415=76
Caso t=-tfrac1raiz2 x=-y/raiz2 e da restrição 5y^2/2=1 vem
y=pmraiztfrac25, x=mp1raiz5,
com
f=35-415=13

Passo 7

Reunindo:
  • Mínimo global em (0,0) com f=0.
  • Máximos globais em
    l(tfrac2raiz55,tfrac1raiz10r) e
    l(-tfrac2raiz55,-tfrac1raiz10r)
    com f=7/6.
  • Há ainda pontos de mínimo relativo na fronteira
    l(-tfrac1raiz5,tfracraiz2raiz5r) e
    l(tfrac1raiz5,-tfracraiz2raiz5r)
    com f=1/3.

Resposta

Mínimo global:
(0,0), f=0.
Máximos globais:
l(tfrac2raiz55,tfrac1raiz10r) e
l(-tfrac2raiz55,-tfrac1raiz10r),
com f=7/6.
Minimos relativos na fronteira (não globais):
l(-tfrac1raiz5,tfracraiz2raiz5r) e
l(tfrac1raiz5,-tfracraiz2raiz5r),
com f=1/3.

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