Se a população de bactérias começa com 100 e dobra a cada três horas, então o número de bactérias após t horas é n=f(t) =100 cdot 2^t / 3.
(a) Encontre a função inversa e explique seu significado.
(b) Quando a população atingirá 50.000 bactérias?

Passo 1

O enunciado dá a evolução da população de bactérias por
n = f(t) = 100 cdot 2^t/3,
onde t é o tempo em horas e n o número de bactérias. O conteúdo aqui é função exponencial e sua inversa, além de uso de logaritmos para resolver questões do tipo “quando atinge certo valor?”.

Passo 2

Para achar a inversa f^-1, começamos por escrever
n = 100 cdot 2^t/3
Dividindo por 100:
n100 = 2^t/3
Agora aplicamos logaritmo de base 2 em ambos os lados:
log2!l(tfracn100r) = t3
Multiplicando por 3, isolamos t:
t = 3,log2!l(tfracn100r)
Logo, a função inversa é
f^-1(n) = 3,log2!l(tfracn100r)

Passo 3

O significado de f^-1(n) é: “dado um número n de bactérias, quantas horas t são necessárias para que a população cresça de 100 até n”.

Passo 4

Para descobrir quando n=50,000, basta usar
t = f^-1(50,000) = 3,log2!(50,000100) = 3,log2(500)
Calculando numericamente:
log2(500) = ln(500)ln(2) approx 8,9658,
então
t approx 3 times 8,9658 = 26,8974 horas,
ou seja cerca de 26,9 horas (aproximadamente 26,h, 54,min).

Resposta

(a) f^-1(n)=3log2!l(tfracn100r), que dá o tempo necessário para a população chegar a n.
(b) Aproximadamente 26,9 horas.

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