Determine os pontos extremos das funções seguintes:
na região
;
Passo 1
O enunciado pede os pontos de máximo e mínimo da função
sujeita à restrição
Esse é um problema de otimização com restrição (extremos em uma bola fechada). Como
é linear, não há extremos no interior (pois
), então os candidatos estão na fronteira
.
Passo 2
Para encontrar os extremos na esfera usamos multiplicadores de Lagrange. Definimos
e impomos
Como
e
, temos
Passo 3
Da igualdade componente a componente surge
que implica
Passo 4
Como
deve estar na esfera unitária, substituímos
em
para obter
São dois pontos críticos na fronteira.
Passo 5
Avaliação de
nesses pontos:
para
para
é o valor máximo;
para
para
é o valor mínimo.
Resposta
Máximo em
com
.
Mínimo em com
.
Mínimo em