Determine os pontos extremos das funções seguintes:
f(x, y, z)=x+y+z na região x^2+y^2+z^2 <= 1;

Passo 1

O enunciado pede os pontos de máximo e mínimo da função
f(x,y,z)=x+y+z
sujeita à restrição
x^2+y^2+z^2<=1
Esse é um problema de otimização com restrição (extremos em uma bola fechada). Como f é linear, não há extremos no interior (pois nabla fneq0), então os candidatos estão na fronteira
;x^2+y^2+z^2=1.

Passo 2

Para encontrar os extremos na esfera usamos multiplicadores de Lagrange. Definimos
g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1
e impomos
nabla f = lambda,nabla g
Como
nabla f=(1,1,1) e nabla g=(2x,2y,2z), temos
(1,1,1)=lambda,(2x,2y,2z)

Passo 3

Da igualdade componente a componente surge
1=2lambda x, 1=2lambda y, 1=2lambda z
que implica
x=y=z=12lambda

Passo 4

Como (x,y,z) deve estar na esfera unitária, substituímos x=y=z em
x^2+y^2+z^2=1
para obter
3x^2=1 Longrightarrow x=y=z=pm1raiz3
São dois pontos críticos na fronteira.

Passo 5

Avaliação de f nesses pontos:
para l(tfrac1raiz3,tfrac1raiz3,tfrac1raiz3r)
f=3cdot1raiz3=raiz3
é o valor máximo;
para l(-tfrac1raiz3,-tfrac1raiz3,-tfrac1raiz3r)
f=3cdotl(-tfrac1raiz3r)=-raiz3
é o valor mínimo.

Resposta

Máximo em l(tfrac1raiz3,tfrac1raiz3,tfrac1raiz3r) com f=raiz3.
Mínimo em l(-tfrac1raiz3,-tfrac1raiz3,-tfrac1raiz3r) com f=-raiz3.

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