1. (1,0 ponto) Determine a equação do plano tangente ao elipsoide
x^24+y^2+z^29=3
no ponto (-2,1,-3).
a) 2 x+3 y+4 z+13=0
b) x-y+2 z+9=0
c) 3 x-6 y+2 z+18=0
d) 2 x-y+3 z+14=0

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que é tangente ao elipsoide
x^24+y^2+z^29=3
no ponto P=(-2,1,-3). Para uma superfície dada implicitamente por F(x,y,z)=0, o vetor normal ao plano tangente em P é nabla F(P).

Passo 2

Definimos
F(x,y,z)=x^24+y^2+z^29-3
Logo, as derivadas parciais são
partial Fpartial x=x2, partial Fpartial y=2y, partial Fpartial z=2z9,
de modo que
nabla F(x,y,z)=l(x2,,2y,,2z9r)

Passo 3

Avaliamo-la em P=(-2,1,-3):
nabla F(-2,1,-3)=l(-1,,2,,-tfrac23r)
Um vetor normal equivalente, sem fração, é
( -1,2,-tfrac23 )times 3 =(-3,6,-2),
ou multiplicando por -1,
(3,-6,2)

Passo 4

A equação ponto–normal do plano em P com vetor normal (3,-6,2) é
3(x+2)-6(y-1)+2(z+3)=0
Expandindo e coletando termos, obtemos
3x-6y+2z+18=0

Resposta

(c)

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