Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo envolve testes de convergência de séries numéricas, em especial o teste de comparação e o critério de p-séries.
Passo 2
Para checar convergência absoluta, a gente estuda
com an = 16,sin(raizn)/raizn^3+4. Se essa série de termos positivos convergir, então a original converge absolutamente.
Passo 3
Vamos estimar o termo geral em módulo. Temos
|an| = 16|sin(raizn)|raizn^3+4 <= 161raizn^3+4
Além disso, para todo n>=1, vale raizn^3+4>= n^3/2. Logo,
|an| <= 161n^3/2
Passo 4
A série de comparação
sumn=1^infty 16n^3/2
é uma p-série com p=3/2>1, portanto converge. Pelo teste de comparação, sum|an| converge. Logo, a série original é absolutamente convergente.