Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
16 sumn=1^infty sen raiznraizn^3+4

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
16sumn=1^inftysinraiznraizn^3+4
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo envolve testes de convergência de séries numéricas, em especial o teste de comparação e o critério de p-séries.

Passo 2

Para checar convergência absoluta, a gente estuda
sumn=1^inftyl|anr|
com an = 16,sin(raizn)/raizn^3+4. Se essa série de termos positivos convergir, então a original converge absolutamente.

Passo 3

Vamos estimar o termo geral em módulo. Temos
|an| = 16|sin(raizn)|raizn^3+4 <= 161raizn^3+4
Além disso, para todo n>=1, vale raizn^3+4>= n^3/2. Logo,
|an| <= 161n^3/2

Passo 4

A série de comparação
sumn=1^infty 16n^3/2
é uma p-série com p=3/2>1, portanto converge. Pelo teste de comparação, sum|an| converge. Logo, a série original é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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