Determine em que pontos (x, y) in R^2 a função f é contínua:
f(x, y)=l(x+1) y(x+1)^2+y^2, se (x, y) neq(-1,0) 0, se (x, y)=(-1,0)

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os pontos de continuidade de uma função definida por partes em $x,y)\in\mathbb{R}^2$. O conteúdo é continuidade de funções de duas variáveis e para resolver vamos precisar usar propriedades de funções racionais (razão de polinômios) e verificar o limite no ponto especial $(-1,0)$.

Passo 2

Para qualquer ponto $(x,y)\neq(-1,0)$, a função \f(x,y)=\frac{(x+1)y}{(x+1)2+y2}\) é razão de polinômios e o denominador $(x+1)2+y2$ nunca se anula. Logo, nos pontos onde $(x,y)\neq(-1,0)$ a função é contínua por ser formada de operações algébricas contínuas.

Passo 3

Agora precisamos checar a continuidade em $(-1,0)$. Como \f(-1,0)=0\), queremos ver se \lim_{(x,y)\to(-1,0)}f(x,y)=0\). Para isso, introduzimos novas variáveis \u=x+1\) e \v=y\), de modo que o ponto de interesse vira $u,v)\to(0,0)$ e em coordenadas $u,v)$ a função fica
(-1,0)

Passo 4

Para testar a existência do limite, seguimos pelo caminho \v=u\). Substituindo, obtemos
f=ucdot uu^2+u^2=u^22u^2=12

Passo 5

Esse valor \tfrac12\) é diferente de \f(-1,0)=0\). Portanto o limite não coincide com o valor da função, o que mostra que \f não é contínua em $(-1,0)$.

Resposta

A função é contínua em todo \mathbb{R}^2 \setminus\{(-1,0)\}.

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