Questão 2. (1,5 pontos) Considere atentamente as afirmações a seguir.
i. Se f:[a, b] [a, b] é contínua, então o gráfico de f intercepta a diagonal do plano cartesiano.
ii. lim x a^- tg(x)=-infty para todo a=pi2+k pi, com k in Z.
iii. Se lim x a f(x)=+infty e lim x a g(x)=-infty, então lim x a f(x) g(x)=-infty.
A seguir, marque com X a sentença que expressa o julgamento correto referente aos itens i, ii e iii:
O único item falso é i.

Passo 1

O enunciado pede pra identificar quais das afirmações i, ii e iii são verdadeiras ou falsas e depois checar se a frase “O único item falso é i” está correta.

Passo 2

Afirmativa i: “Se f:[a,b]to[a,b] é contínua, então o gráfico de f intercepta a diagonal.” Isso é exatamente o Teorema do Ponto Fixo de Brouwer (caso unidimensional), que garante que existe cin[a,b] tal que f(c)=c. Logo i é verdadeira.

Passo 3

Afirmativa ii: “ limxto a^-tan(x)=-infty para todo a=pi2+kpi.” Na verdade, para qualquer kin Z, aproximando-se de a=pi2+kpi pela esquerda, o cosseno é pequeno e mantém sinal tal que tan(x)to+infty. Portanto ii é falsa.

Passo 4

Afirmativa iii: “Se limxto af(x)=+infty e limxto ag(x)=-infty, então limxto af(x)g(x)=-infty.” Podemos usar que para valores próximos de a, f(x)>K e g(x)<-K para qualquer K>0. Daí f(x)g(x)<-K^2, que tende a -infty. Logo iii é verdadeira.

Passo 5

Dos três itens, somente o ii é falso, enquanto i e iii são verdadeiros. A frase proposta afirmando que “O único item falso é i” está incorreta.

Resposta

A frase está errada. Na verdade, o único item falso é ii.

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