Questão 2. (1,5 pontos) Considere atentamente as afirmações a seguir.
i. Se
é contínua, então o gráfico de
intercepta a diagonal do plano cartesiano.
ii.
para todo
, com
.
iii. Se
e
, então
.
A seguir, marque com
a sentença que expressa o julgamento correto referente aos itens i, ii e iii:
O único item falso é i.
i. Se
ii.
iii. Se
A seguir, marque com
O único item falso é i.
Passo 1
O enunciado pede pra identificar quais das afirmações i, ii e iii são verdadeiras ou falsas e depois checar se a frase “O único item falso é i” está correta.
Passo 2
Afirmativa i: “Se
é contínua, então o gráfico de
intercepta a diagonal.” Isso é exatamente o Teorema do Ponto Fixo de Brouwer (caso unidimensional), que garante que existe
tal que
. Logo i é verdadeira.
Passo 3
Afirmativa ii: “
para todo
.” Na verdade, para qualquer
, aproximando-se de
pela esquerda, o cosseno é pequeno e mantém sinal tal que
. Portanto ii é falsa.
Passo 4
Afirmativa iii: “Se
e
, então
.” Podemos usar que para valores próximos de
,
e
para qualquer
. Daí
, que tende a
. Logo iii é verdadeira.
Passo 5
Dos três itens, somente o ii é falso, enquanto i e iii são verdadeiros. A frase proposta afirmando que “O único item falso é i” está incorreta.
Resposta
A frase está errada. Na verdade, o único item falso é ii.