Questão 2. (1,5 pontos) Considere atentamente as afirmações a seguir.
i. Se f:[a, b] [a, b] é contínua, então o gráfico de f intercepta a diagonal do plano cartesiano.
ii. lim x a^- tg(x)=-infty para todo a=pi2+k pi, com k in Z.
iii. Se lim x a f(x)=+infty e lim x a g(x)=-infty, então lim x a f(x) g(x)=-infty.
A seguir, marque com X a sentença que expressa o julgamento correto referente aos itens i, ii e iii:
Todos os itens são falsos.

Passo 1

O enunciado traz três afirmações sobre continuidade, limites e infinitos, e pede para julgá-las como verdadeiras ou falsas: (i) sobre interceptação do gráfico de f com a diagonal em [a,b], (ii) limite lateral de tan em assíntotas, (iii) produto de limites infinitos.

Passo 2

Para (i) considere a função h(x)=f(x)−x. Como f:[a,b]→[a,b] é contínua, h também é contínua. Note que h(a)=f(a)−a≥a−a=0 e h(b)=f(b)−b≤b−b=0. Por Teorema do Valor Intermediário existe c em [a,b] tal que h©=0, ou seja f©=c. Isso significa que o gráfico de f intercepta y=x. Logo (i) é verdadeira.

Passo 3

Para (ii) use a periodicidade de tan e o comportamento junto às assíntotas x=a=π/2+kπ. Em qualquer k, ao aproximar x→a− (pela esquerda), tan(x)→+∞, nunca −∞. Por exemplo, em a=π/2, tan(x→(π/2)−)=+∞. Portanto (ii) é falsa.

Passo 4

Para (iii) o fato de limₓ→a f(x)=+∞ e limₓ→a g(x)=−∞ não garante que f(x)·g(x)→−∞. Um contraexemplo é f(x)=1/(a−x)²→+∞ e g(x)=−(a−x)²→−∞; o produto é f(x)g(x)=−1, que tende a −1, não a −∞. Logo (iii) é falsa.

Passo 5

Portanto o julgamento correto é: i verdadeira, ii falsa e iii falsa.

Resposta

Somente i é verdadeira (i V, ii F, iii F).

Exercícios relacionados