Questão 2. (1,5 pontos) Considere atentamente as afirmações a seguir.
i. Se
é contínua, então o gráfico de
intercepta a diagonal do plano cartesiano.
ii.
para todo
, com
.
iii. Se
e
, então
.
A seguir, marque com
a sentença que expressa o julgamento correto referente aos itens i, ii e iii:
Todos os itens são falsos.
i. Se
ii.
iii. Se
A seguir, marque com
Todos os itens são falsos.
Passo 1
O enunciado traz três afirmações sobre continuidade, limites e infinitos, e pede para julgá-las como verdadeiras ou falsas: (i) sobre interceptação do gráfico de f com a diagonal em [a,b], (ii) limite lateral de tan em assíntotas, (iii) produto de limites infinitos.
Passo 2
Para (i) considere a função h(x)=f(x)−x. Como f:[a,b]→[a,b] é contínua, h também é contínua. Note que h(a)=f(a)−a≥a−a=0 e h(b)=f(b)−b≤b−b=0. Por Teorema do Valor Intermediário existe c em [a,b] tal que h©=0, ou seja f©=c. Isso significa que o gráfico de f intercepta y=x. Logo (i) é verdadeira.
Passo 3
Para (ii) use a periodicidade de tan e o comportamento junto às assíntotas x=a=π/2+kπ. Em qualquer k, ao aproximar x→a− (pela esquerda), tan(x)→+∞, nunca −∞. Por exemplo, em a=π/2, tan(x→(π/2)−)=+∞. Portanto (ii) é falsa.
Passo 4
Para (iii) o fato de limₓ→a f(x)=+∞ e limₓ→a g(x)=−∞ não garante que f(x)·g(x)→−∞. Um contraexemplo é f(x)=1/(a−x)²→+∞ e g(x)=−(a−x)²→−∞; o produto é f(x)g(x)=−1, que tende a −1, não a −∞. Logo (iii) é falsa.
Passo 5
Portanto o julgamento correto é: i verdadeira, ii falsa e iii falsa.
Resposta
Somente i é verdadeira (i V, ii F, iii F).