Calcule o lim t inftylang<= t e^-2 t, t^3+12 t^3-1, t sen(1t)rang<=

Passo 1

Vamos calcular o limite do vetor lang<= t e^-2 t, t^3+12 t^3-1, t sin(1t)rang<= quando t tende ao infinito. Para isso, precisamos analisar o limite de cada componente individualmente. Os conteúdos que vamos utilizar são limites de funções exponenciais, racionais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da primeira componente: t e^-2 t.
Sabemos que a função exponencial e^-2t decresce muito rapidamente para zero à medida que t aumenta. Mesmo multiplicando por t, que cresce para o infinito, a exponencial domina e faz com que o produto todo tenda a zero.
Portanto:
limt to infty t e^-2 t = 0

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da segunda componente: t^3+12 t^3-1.
Para encontrar esse limite, observamos os termos de maior grau no numerador e no denominador, que são t^3 em ambos. Dividindo todos os termos por t^3, temos:
t^3+12 t^3-1 = 1 + 1t^32 - 1t^3
Quando t tende ao infinito, 1t^3 tende a zero. Assim, o limite fica:
1 + 02 - 0 = 12
Portanto:
limt to infty t^3+12 t^3-1 = 12

Passo 4

Por último, vamos calcular o limite da terceira componente: t sin(1t).
Sabemos que para valores pequenos de x, sin(x) approx x. Aqui, quando t tende ao infinito, 1t tende a zero. Portanto:
sin(1t) approx 1t
Multiplicando por t:
t cdot 1t = 1
Então, o limite é:
limt to infty t sin(1t) = 1

Resposta

lang<= 0, dfrac12, 1 rang<=

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