Em cada caso, verifique se a função é derivável no ponto a indicado.
a=0, f(x)=\left\{\begin{array}{c}x^{2}, \text { se } x \leq 0 \\\ x, \text { se } x>0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função
\displaystyle f(x)=\begin{cases}x^{2},&x\le0,\x,&x>0,\end{cases}
e pede para verificar se f é derivável em a=0. Para isso vamos usar a definição de derivada via limites laterais:
f'_{-}(0)=\lim_{h\to0^-}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}, \qquad f'_{+}(0)=\lim_{h\to0^+}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}.

Passo 2

Primeiro, determinamos f(0). Como 0\le0, usamos o ramo x^2, logo
f(0)=0^2=0.
Agora, o limite pela esquerda:
f'_{-}(0) =\lim_{h\to0^-}\frac{f(h)-f(0)}{h} =\lim_{h\to0^-}\frac{h^2-0}{h} =\lim_{h\to0^-}h =0.

Passo 3

Em seguida, o limite pela direita:
f'_{+}(0) =\lim_{h\to0^+}\frac{f(h)-f(0)}{h} =\lim_{h\to0^+}\frac{h-0}{h} =\lim_{h\to0^+}1 =1.

Passo 4

Como
\displaystyle f'_{-}(0)=0\neq1=f'_{+}(0),
os limites laterais não coincidem, logo f não é derivável em x=0.

Resposta

f não é derivável em 0.

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