Determine os pontos em que a função f(x)=\left|x^{2}-4 x\right| não é derivável.

Passo 1

O enunciado pede os pontos em que a função
f(x)=\lvert x^{2}-4x\rvert
não é derivável. Este é um problema de derivabilidade de funções definidas por valor absoluto. Para resolvê-lo, vamos:
  1. Identificar onde o interior da valor absoluto zera.
  2. Expressar f de modo piecewise conforme o sinal de x^{2}-4x.
  3. Calcular as derivadas laterais nesses pontos e verificar se coincidem.

Passo 2

Defina
g(x)=x^{2}-4x\,.
Resolvendo g(x)=0 obtemos
x^{2}-4x=0 \quad\Longrightarrow\quad x(x-4)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0\\ \text{ou}\\ x=4.
São os únicos candidatos a descontinuidade da derivada de f.

Passo 3

Determine o sinal de g(x):
  • Para x<0 ou x>4, temos g(x)>0, logo f(x)=g(x)=x^{2}-4x.
  • Para 0<x<4, temos g(x)<0, logo f(x)=-g(x)=-(x^{2}-4x)=4x-x^{2}.
Em cada trecho f é diferenciável, com derivadas
f'(x)= \begin{cases} 2x-4, & x<0,\\\\ 4-2x, & 0<x<4,\\\\ 2x-4, & x>4. \end{cases}

Passo 4

Calcule as derivadas laterais em x=0 e em x=4:
Em x=0:
f'(0^-)=\lim_{x\to0^-}(2x-4)=-4, \quad f'(0^+)=\lim_{x\to0^+}(4-2x)=4.
Como f'(0^-)\neq f'(0^+), f não é derivável em x=0.
Em x=4:
f'(4^-)=\lim_{x\to4^-}(4-2x)=4-8=-4, \quad f'(4^+)=\lim_{x\to4^+}(2x-4)=4.
Como f'(4^-)\neq f'(4^+), f não é derivável em x=4.

Resposta

A função f(x)=\lvert x^{2}-4x\rvert não é derivável nos pontos x=0 e x=4.

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