Determine os pontos para quais a função
é contínua.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para determinar em quais pontos a função $ f(x, y) $ é contínua. A função dada é:
Vamos usar conceitos de continuidade de funções de duas variáveis para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se o limite dela quando nos aproximamos desse ponto é igual ao valor da função no próprio ponto.
No nosso caso, a função $ f(x, y) $ tem duas partes: uma quando $ (x, y) \neq (0,0) $ e outra quando $ (x, y) = (0,0) $. Vamos analisar a continuidade em todos os pontos.
Passo 3
Para $ (x, y) \neq (0,0) $, a função é uma razão de polinômios. Sabemos que polinômios são contínuos em todo o seu domínio, e como o denominador $ x^{2} + y^{2} $ não é zero nessas condições, a função é contínua em todos os pontos diferentes de $ (0,0) $.
Passo 4
Agora, o ponto crítico é $ (0,0) $. Precisamos verificar se a função é contínua nesse ponto. Para isso, calculamos o limite de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $ e vemos se esse limite é igual a $ f(0,0) = 0 $.
Vamos calcular:
Passo 5
Para calcular esse limite, podemos usar coordenadas polares, onde $ x = r \cos \theta $ e $ y = r \sin \theta $, e $ r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $.
Substituindo na função:
Passo 6
Agora, analisamos o comportamento quando $ r \to 0 $:
Isso significa que o limite da função quando $ (x, y) \to (0,0) $ é 0, que é igual ao valor da função em $ (0,0) $.
Resposta
A função $ f(x, y) $ é contínua em todos os pontos do plano
.