Determine os pontos em que a função f(x, y)=x^3 yx^6+y^2 é descontínua.

Passo 1

Resumo do enunciado e o que vamos precisar: temos a função de duas variáveis
f(x,y)=x^3yx^6+y^2
queremos encontrar os pontos em que ela é descontínua. O conteúdo é continuidade de funções de múltiplas variáveis e vamos precisar analisar o domínio (denominador não nulo) e o comportamento perto de pontos problemáticos.

Passo 2

Determinar o domínio de definição: para que f esteja definida precisamos de x^6+y^2neq0. Como x^6>=0 e y^2>=0, a soma só dá zero se x=0 e y=0 simultaneamente. Logo, o domínio é
D= R^2setminus(0,0)

Passo 3

Concluir continuidade no domínio: em todo ponto de D o denominador é diferente de zero e a função é quociente de polinômios sem anular o denominador. Polinômios são contínuos, e onde o denominador não zera o quociente também é contínuo. Portanto f é contínua em todo ponto de D.

Passo 4

Analisar o ponto (0,0): primeiro, f não está definida em (0,0), então já há indício de descontinuidade. Além disso, para testar a existência de limite, aproximamos por curvas diferentes. Se tomarmos y=kx^3, então
fl(x,kx^3r)=x^3cdot(kx^3)x^6+(kx^3)^2=kx^6x^6+k^2x^6=k1+k^2
Esse valor depende de k, então o limite não existe quando (x,y)to(0,0).

Passo 5

Como f não está definida em (0,0) e o limite não existe, concluímos que há descontinuidade em (0,0), e em mais nenhum outro ponto.

Resposta

A única descontinuidade de f é no ponto (0,0).

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