Determine os pontos em que a função
é descontínua.
Passo 1
Resumo do enunciado e o que vamos precisar: temos a função de duas variáveis
queremos encontrar os pontos em que ela é descontínua. O conteúdo é continuidade de funções de múltiplas variáveis e vamos precisar analisar o domínio (denominador não nulo) e o comportamento perto de pontos problemáticos.
Passo 2
Determinar o domínio de definição: para que f esteja definida precisamos de
. Como
e
, a soma só dá zero se
e
simultaneamente. Logo, o domínio é
Passo 3
Concluir continuidade no domínio: em todo ponto de
o denominador é diferente de zero e a função é quociente de polinômios sem anular o denominador. Polinômios são contínuos, e onde o denominador não zera o quociente também é contínuo. Portanto f é contínua em todo ponto de
.
Passo 4
Analisar o ponto
: primeiro, f não está definida em
, então já há indício de descontinuidade. Além disso, para testar a existência de limite, aproximamos por curvas diferentes. Se tomarmos
, então
Esse valor depende de
Passo 5
Como f não está definida em
e o limite não existe, concluímos que há descontinuidade em
, e em mais nenhum outro ponto.
Resposta
A única descontinuidade de f é no ponto (0,0).