Calcule lim (h, k) (0,0) (h+1)^2-(k-1)^3+1h+k, se existir.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando (h,k) tende a (0,0). O conteúdo aqui é cálculo de limite em várias variáveis e vamos precisar combinar expansão de polinômios com análise de caminhos de aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o numerador usando desenvolvimento de binômio e fórmula de potência. Temos em bloco:
(h+1)^2 = h^2 + 2h + 1
(k-1)^3 = -1 + 3k - 3k^2 + k^3
Logo, o numerador N(h,k) é
N(h,k) = (h+1)^2 - (k-1)^3 + 1 = h^2 + 2h + 1 -(-1 + 3k - 3k^2 + k^3) + 1
N(h,k) = h^2 + 2h + 1 +1 -3k +3k^2 -k^3 +1 = h^2 + 2h - 3k + 3k^2 - k^3 + 3
Portanto a função que estamos analisando é
f(h,k) = N(h,k)h + k = h^2 + 2h - 3k + 3k^2 - k^3 + 3h + k

Passo 3

Para verificar se há limite finito, basta encontrar um caminho que leve a comportamentos diferentes. Um caminho simples é k = 0. Então
f(h,0) = h^2 + 2h + 3h = h + 2 + 3h
Quando h to 0^+, f(h,0) to +infty e quando h to 0^-, f(h,0) to -infty. Como não há um valor único, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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