Dado o campo vetorial F(x, y)=(x^2, y^2) e uma curva C dada pelo arco de parábola y=2 x^2 para x entre 2 e 3 .
Determine se o campo é conservativo utilizando teorema dado em sala de aula. Se for, determine uma função f tal que F=nabla f;

Passo 1

Entendi o exercício: temos o campo vetorial F(x,y)=(x^2,y^2) e uma curva C dada por y=2x^2 para x entre 2 e 3. O objetivo é verificar se F é conservativo (isto é, existe função potencial f com F=nabla f) usando o critério do rotacional.

Passo 2

Em R^2, um campo F=(P,Q) é conservativo se o rotacional partial Qpartial x-partial Ppartial y for zero e o domínio for simplesmente conexo. Aqui, temos
partial Qpartial x=partialpartial x(y^2)=0 e partial Ppartial y=partialpartial y(x^2)=0,
logo o rotacional é 0-0=0. Como o domínio é todo R^2 (simplesmente conexo), concluímos que F é conservativo.

Passo 3

Para encontrar a função potencial f, integramos a primeira componente P=x^2 em relação a x:
f(x,y)=integral x^2,dx=x^33+h(y)
Em seguida, derivamos em y e igualamos à segunda componente Q=y^2:
partial fpartial y=h'(y)=y^2
implicando h(y)=integral y^2,dy=y^33+C. Portanto,
f(x,y)=x^33+y^33+C

Resposta

O campo é conservativo e uma função potencial é f(x,y)=x^33+y^33+C.

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