Dado o campo vetorial
e uma curva
dada pelo arco de parábola
para
entre 2 e 3 .
Determine se o campo é conservativo utilizando teorema dado em sala de aula. Se for, determine uma função
tal que
;
Determine se o campo é conservativo utilizando teorema dado em sala de aula. Se for, determine uma função
Passo 1
Entendi o exercício: temos o campo vetorial
e uma curva
dada por
para
entre 2 e 3. O objetivo é verificar se
é conservativo (isto é, existe função potencial
com
) usando o critério do rotacional.
Passo 2
Em
, um campo
é conservativo se o rotacional
for zero e o domínio for simplesmente conexo. Aqui, temos
e
,
logo o rotacional é . Como o domínio é todo
(simplesmente conexo), concluímos que
é conservativo.
logo o rotacional é
Passo 3
Para encontrar a função potencial
, integramos a primeira componente
em relação a
:
Em seguida, derivamos em e igualamos à segunda componente
:
implicando . Portanto,
Em seguida, derivamos em
implicando
Resposta
O campo é conservativo e uma função potencial é
.