Determine os pontos de R^2 nos quais as funções abaixo são contínuas:
f(x, y)=l(x^2+y^2) cos (1x^2+y^2) se(x, y) neq(0,0) 0 se(x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= (x^2+y^2)cosl(tfrac1x^2+y^2r),&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0),
e pede os pontos de R^2 onde f é contínua. Vamos lembrar que uma função é contínua num ponto se o limite no ponto existe e é igual ao valor da função ali.

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) temos r^2=x^2+y^2>0. A composição
(x,y)mapsto r^2, r^2mapsto tfrac1r^2, tmapsto cos(t), e tmapsto r^2cdotcos(t)
é feita entre funções contínuas (fora de r^2=0), logo (x^2+y^2)cosl(tfrac1x^2+y^2r) é contínua em todo ponto com (x,y)neq(0,0).

Passo 3

No ponto (0,0) precisamos ver se
lim(x,y)to(0,0)(x^2+y^2)cos!l(tfrac1x^2+y^2r)
existe e é igual a f(0,0)=0. Como cos é limitada entre -1 e 1, temos
l| (x^2+y^2)cos(tfrac1x^2+y^2)r|<= x^2+y^2
E lim(x,y)to(0,0)(x^2+y^2)=0. Pelo Teorema do Confronto, o limite vale 0, que coincide com f(0,0). Logo f é contínua em (0,0).

Passo 4

Concluímos que f é contínua em todos os pontos de R^2, tanto em (0,0) quanto em (x,y)neq(0,0).

Resposta

A função f é contínua em todo R^2.

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