e pede os pontos de R^2 onde f é contínua. Vamos lembrar que uma função é contínua num ponto se o limite no ponto existe e é igual ao valor da função ali.
Passo 2
Para (x,y)neq(0,0) temos r^2=x^2+y^2>0. A composição
(x,y)mapsto r^2, r^2mapsto tfrac1r^2, tmapsto cos(t), e tmapsto r^2cdotcos(t)
é feita entre funções contínuas (fora de r^2=0), logo (x^2+y^2)cosl(tfrac1x^2+y^2r) é contínua em todo ponto com (x,y)neq(0,0).
Passo 3
No ponto (0,0) precisamos ver se
lim(x,y)to(0,0)(x^2+y^2)cos!l(tfrac1x^2+y^2r)
existe e é igual a f(0,0)=0. Como cos é limitada entre -1 e 1, temos
l| (x^2+y^2)cos(tfrac1x^2+y^2)r|<= x^2+y^2
E lim(x,y)to(0,0)(x^2+y^2)=0. Pelo Teorema do Confronto, o limite vale 0, que coincide com f(0,0). Logo f é contínua em (0,0).
Passo 4
Concluímos que f é contínua em todos os pontos de R^2, tanto em (0,0) quanto em (x,y)neq(0,0).