Suponha que
represente a temperatura (
) no ponto (
) do plano
e que
.
a) Faça um esboço da isoterma correspondente à temperatura de
, isto é, o conjunto de pontos que possuem a mesma temperatura de
.
b) Determine os pontos de mais baixa temperatura da reta
.
a) Faça um esboço da isoterma correspondente à temperatura de
b) Determine os pontos de mais baixa temperatura da reta
Passo 1
O enunciado nos dá a temperatura em cada ponto
do plano por
e pede duas coisas:
– (a) esboçar a isoterma de , isto é o contorno onde
.
– (b) encontrar o(s) ponto(s) da reta onde a temperatura é mínima.
O conteúdo envolvido é identificação de cônicas (elipse) em (a) e otimização com restrição em (b).
– (a) esboçar a isoterma de
– (b) encontrar o(s) ponto(s) da reta
O conteúdo envolvido é identificação de cônicas (elipse) em (a) e otimização com restrição em (b).
Passo 2
Para a isoterma de
impomos
Dividindo ambos os lados por
obtemos a forma padrão da elipse:
Isso é uma elipse centrada em
, com semi-eixo maior
ao longo do eixo
e semi-eixo menor
ao longo do eixo
. No esboço, marcamos interceptos em
e
.
Passo 3
Para achar o mínimo de
sujeito à reta
, fazemos a substituição
e definimos a função unidimensional
Passo 4
Calculamos a derivada de
e igualamos a zero:
Então
Verificando
, concluímos que é mínimo.
Resposta
(a) A isoterma
é a elipse
com interceptos em
e
.
(b) O ponto de menor temperatura sobre é
(b) O ponto de menor temperatura sobre