Suponha que T(x, y) represente a temperatura ( em^circ C ) no ponto ( x, y ) do plano x y e que T(x, y)=x^2+25 y^2.
a) Faça um esboço da isoterma correspondente à temperatura de 25^circ C, isto é, o conjunto de pontos que possuem a mesma temperatura de 25^circ C.
b) Determine os pontos de mais baixa temperatura da reta x+y=2.

Passo 1

O enunciado nos dá a temperatura em cada ponto (x,y) do plano por
T(x,y)=x^2+25y^2
e pede duas coisas:
– (a) esboçar a isoterma de 25^circC, isto é o contorno onde T(x,y)=25.
– (b) encontrar o(s) ponto(s) da reta x+y=2 onde a temperatura é mínima.
O conteúdo envolvido é identificação de cônicas (elipse) em (a) e otimização com restrição em (b).

Passo 2

Para a isoterma de 25^circC impomos
x^2+25y^2=25
Dividindo ambos os lados por 25 obtemos a forma padrão da elipse:
x^225+y^21=1
Isso é uma elipse centrada em (0,0), com semi-eixo maior a=5 ao longo do eixo x e semi-eixo menor b=1 ao longo do eixo y. No esboço, marcamos interceptos em (pm5,0) e (0,pm1).

Passo 3

Para achar o mínimo de T sujeito à reta x+y=2, fazemos a substituição
y=2-x,
e definimos a função unidimensional
f(x)=Tl(x,2-xr)=x^2+25(2-x)^2

Passo 4

Calculamos a derivada de f e igualamos a zero:
f(x)=x^2+25(4-4x+x^2)=26x^2-100x+100,
f'(x)=52x-100=0Longrightarrow x=10052=2513
Então
y=2-2513=113
Verificando f''(x)=52>0, concluímos que é mínimo.

Resposta

(a) A isoterma T=25 é a elipse
x^225+y^21=1,
com interceptos em (pm5,0) e (0,pm1).
(b) O ponto de menor temperatura sobre x+y=2 é
l(tfrac2513,,tfrac113r)

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