Use adequadamente a desigualdade de: Cauchy(1789-1857)-Schwarz (1843-1921) - Bunyakovski(1804-1899), válida para todos
e
em
; para mostrar que
; tem como valor mínimo absoluto:
.
Passo 1
Estamos com a função
, com
. O objetivo é usar a desigualdade de Cauchy-Schwarz em
para mostrar que
fica sempre abaixo de
, revelando assim o valor máximo (supremo) de
.
Passo 2
Definimos os vetores em
:
Então o produto escalar é
, e as normas são
e
.
Passo 3
Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz temos:
o que, elevando ao quadrado, dá
Passo 4
Agora dividimos ambos os lados por
para obter:
Isso mostra que
nunca ultrapassa
, logo esse é o supremo (valor máximo).
Passo 5
Para ver que esse valor é atingido, note que a igualdade em Cauchy ocorre quando
e
são paralelos. Assim existe
tal que
Da terceira coordenada vem
, logo
e
. Nesse ponto temos exatamente
.
Resposta
a^2 + b^2 + c^2