Use adequadamente a desigualdade de: Cauchy(1789-1857)-Schwarz (1843-1921) - Bunyakovski(1804-1899), válida para todos u e v em R^n:|u v| <=|u||| v||; para mostrar que f(x, y)=(a x+b y+c)^2x^2+y^2+1, c neq 0; tem como valor mínimo absoluto: a^2+b^2+c^2.

Passo 1

Estamos com a função f(x,y)=(a x+b y+c)^2x^2+y^2+1, com cneq0. O objetivo é usar a desigualdade de Cauchy-Schwarz em R^3 para mostrar que f(x,y) fica sempre abaixo de a^2+b^2+c^2, revelando assim o valor máximo (supremo) de f.

Passo 2

Definimos os vetores em R^3:
u=(x,y,1), v=(a,b,c)
Então o produto escalar é ucdot v=a x+b y+c, e as normas são ||u||=raizx^2+y^2+1 e ||v||=raiza^2+b^2+c^2.

Passo 3

Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz temos:
|ucdot v|<=||u||,||v||
o que, elevando ao quadrado, dá
(a x+b y+c)^2<=(x^2+y^2+1)(a^2+b^2+c^2)

Passo 4

Agora dividimos ambos os lados por x^2+y^2+1>0 para obter:
f(x,y)=(a x+b y+c)^2x^2+y^2+1<= a^2+b^2+c^2
Isso mostra que f(x,y) nunca ultrapassa a^2+b^2+c^2, logo esse é o supremo (valor máximo).

Passo 5

Para ver que esse valor é atingido, note que a igualdade em Cauchy ocorre quando u e v são paralelos. Assim existe t tal que
(x,y,1)=t(a,b,c)
Da terceira coordenada vem t=1/c, logo x=a/c e y=b/c. Nesse ponto temos exatamente f(a/c,b/c)=a^2+b^2+c^2.

Resposta

a^2 + b^2 + c^2

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