Determine os pontos de inflexão para cada uma das funções:
y=x^3-6 x^2+9 x-4

Passo 1

O enunciado nos dá a função
y = x^3 - 6x^2 + 9x - 4
e pede os pontos de inflexão. Para isso, vamos usar derivadas e estudar a mudança de concavidade via y''.

Passo 2

Calcular a primeira e a segunda derivada:
y' = ddx(x^3 - 6x^2 + 9x - 4) = 3x^2 - 12x + 9
y'' = ddx(3x^2 - 12x + 9) = 6x - 12

Passo 3

Encontrar os candidatos a ponto de inflexão resolvendo
y'' = 0 Longrightarrow 6x - 12 = 0 Longrightarrow x = 2

Passo 4

Verificar a mudança de concavidade em x=2. Para x<2, y''=6x-12<0 (côncavo para baixo). Para x>2, y''=6x-12>0 (côncavo para cima). Há, portanto, inflexão em x=2.

Passo 5

Calcular a ordenada no ponto x=2:
y(2) = 2^3 - 6cdot2^2 + 9cdot2 - 4 = 8 - 24 + 18 - 4 = -2

Resposta

O único ponto de inflexão é l(2,-2r).

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