Seja gamma:[0,2 pi] R^2 o fio dado pela curva gamma(t)=(cos (t), sen(t), t) com densidade de<a(x, y, z)=x^2+y^2+z^2. Qual é a massa desse fio?

Passo 1

O enunciado dá uma curva parametrizada
gamma:[0,2pi]toR^3
gamma(t)=(cos t,;sin t,;t)
e pede a massa do fio com densidade de<a(x,y,z)=x^2+y^2+z^2.
Para isso vamos usar o conceito de integral de linha para massa:
m=integralCde<a,dS Longrightarrow m=integral0^2pide<al(gamma(t)r),l|gamma'(t)r|,dt

Passo 2

Calcular a derivada da parametrização:
gamma'(t)=l(-sin t,;cos t,;1r)

Passo 3

Encontrar o módulo da velocidade:
l|gamma'(t)r| =raiz(-sin t)^2+(cos t)^2+1^2 =raizsin^2 t+cos^2 t+1 =raiz2

Passo 4

Avaliar a densidade ao longo da curva:
de<al(gamma(t)r) =(cos t)^2+(sin t)^2+t^2 =1+t^2

Passo 5

Montar a integral da massa:
m =integral0^2pil(1+t^2r),raiz2,dt =raiz2integral0^2pil(1+t^2r),dt

Passo 6

Calcular as integrais básicas:
integral0^2pi1,dt=2pi, integral0^2pit^2,dt=(2pi)^33=8pi^33

Passo 7

Substituir e simplificar:
m =raiz2l(2pi+8pi^33r) =2raiz2,pil(1+4pi^23r)

Resposta

m =2raiz2,pil(1+4pi^23r)

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