Seja C a curva interseção das superfícies x^2+y^2+z^2=4, z >= 0 e y=x, que liga o ponto A=(raiz2, raiz2, 0) ao ponto B=(1,1, raiz2).
Parametrize C.

Passo 1

A curva C é a interseção da esfera de raio 2 e do plano y = x, com z ≥ 0, ligando A = (√2,√2,0) a B = (1,1,√2). O conteúdo envolvido é parametrização de curvas definidas por interseção de superfícies, em particular um círculo em um plano.

Passo 2

Para parametrizar, escolhemos uma base ortonormal do plano y = x: eu = (1,1,0)raiz2 e ev = (0,0,1). Nesse plano, a interseção com a esfera x²+y²+z²=4 é um círculo de raio 2 centrado na origem.
Em função dessa base, a parametrização geral do círculo é r(t) = 2l(eucos t + evsin tr). Substituindo as componentes de eu e ev obtemos
r(t) = (raiz2cos t,;raiz2cos t,;2sin t)

Passo 3

Para que r(0)=A e r(pi/4)=B, escolhemos o parâmetro t variando de 0 a pi/4, garantindo ainda z≥0.

Resposta

Uma parametrização é r(t)=(raiz2cos t,,raiz2cos t,,2sin t), com 0<= t<=pi/4.

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