Determine os pontos de interseção com os eixos para cada uma das funções abaixo:
f(x)=x^{2}-4 x+3

Passo 1

O enunciado pede: determinar os pontos de interseção com os eixos da função f(x)=x^{2}-4 x+3.\n
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x^{2}-4 x+3.\n
    Perguntas explícitas que precisamos responder:
  • Quais são os pontos onde o gráfico corta o eixo x (interseções com o eixo x)?
  • Qual é o ponto onde o gráfico corta o eixo y (interseção com o eixo y)?

Passo 2

Lembrete rápido e intuitivo (isto é importante para a prova):\n
  • Interseção com o eixo x são pontos do tipo (x,0). Para encontrá-los, basta resolver f(x)=0.\n
  • Interseção com o eixo y é o ponto do tipo (0,y). Para encontrá-lo, basta calcular f(0).\n
    Agora vamos aplicar isso ao nosso polinômio.

Passo 3

Calcular a interseção com o eixo y: avaliar f em x=0.\n
f(0)=0^{2}-4\cdot0+3=3.
Portanto o valor de y quando x=0 é 3, então a interseção com o eixo y tem coordenadas (0,3).

Passo 4

Calcular as interseções com o eixo x: resolver a equação
x^{2}-4x+3=0.
Esse é um trinômio quadrático; uma maneira simples é fatorar (quando possível). Procuramos dois números cujo produto seja 3 (termo constante) e cuja soma seja -4 (coeficiente de x). Esses números são -1 e -3, porque (-1)\cdot(-3)=3 e (-1)+(-3)=-4.

Passo 5

Usando os números encontrados, fatoramos:
x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3).
Verificação rápida expandindo: (x-1)(x-3)=x^{2}-3x-x+3=x^{2}-4x+3, certo.

Passo 6

Agora cada fator fornece uma solução para f(x)=0:
x-1=0\Rightarrow x=1, \qquad x-3=0\Rightarrow x=3.
Logo as interseções com o eixo x correspondem aos pontos (1,0) e (3,0).
Observação útil para a prova: se a fatoração não for óbvia, pode-se sempre usar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática)
x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
com a=1, b=-4, c=3. Aqui o discriminante é \Delta=b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4\cdot1\cdot3=16-12=4, o que dá as raízes x=(4\pm2)/2, ou seja x=3 e x=1, confirmando o que já achamos.

Resposta

Interseções com o eixo x: (1,0) e (3,0)\n
Interseção com o eixo y: (0,3)

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