Calcule o x do vértice das funções quadráticas a seguir, na sequência determine o ponto onde a parábola atinge seu valor máximo ou mínimo:
f(x)=-2 x^{2}+4 x-1

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular o valor de x no vértice da parábola dada por f(x)=-2 x^{2}+4 x-1.
  • Determinar o ponto (coordenada (x,f(x))) onde a parábola atinge seu valor máximo ou mínimo.
Informações fornecidas:
  • A função quadrática é f(x)=a x^{2}+b x+c com os coeficientes, extraídos do enunciado:
    • a=-2
    • b=4
    • c=-1

Passo 2

Fórmula direta para a abscissa do vértice (fórmula muito usada em provas):
x_{\text{v}} = -\dfrac{b}{2a}.
Explicando a fórmula de forma intuitiva: para uma parábola a x^{2}+b x+c, o eixo de simetria (vertical) passa pelo ponto onde a derivada se anula; a derivada é f'(x)=2a x+b, resolvendo 2a x+b=0 obtém-se x=-b/(2a). Essa é uma forma simples e rápida de achar a abscissa do vértice sem completar quadrado.

Passo 3

Aplicando a fórmula com os coeficientes que pegamos do enunciado:
x_{\text{v}} = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2\cdot(-2)}.
Calcule o denominador e o sinal passo a passo:
2\cdot(-2) = -4, \qquad -\dfrac{4}{-4}=\dfrac{-4}{-4}=1.
Portanto a abscissa do vértice vale 1.

Passo 4

Agora precisamos saber se esse vértice é ponto de mínimo ou máximo. Regra prática:
  • Se a>0, a parábola abre para cima e o vértice é mínimo.
  • Se a<0, a parábola abre para baixo e o vértice é máximo.
No nosso caso \,a=-2<0, logo a parábola abre para baixo e o vértice é um ponto de máximo.

Passo 5

Para encontrar a ordenada do vértice (ou seja, o valor de f em x_{\text{v}}), basta avaliar a função em x=1:
f(1) = -2\cdot(1)^{2} + 4\cdot(1) -1.
Calcule termo a termo:
-2\cdot(1)^{2} = -2,\qquad 4\cdot1=4,
f(1) = -2 + 4 -1 = 1.

Passo 6

Uma verificação alternativa (útil para a prova): escrever a função na forma de vértice completando o quadrado. Começando por
f(x) = -2x^{2}+4x-1 = -2\bigl(x^{2}-2x\bigr)-1.
Complete o quadrado dentro do parêntese: x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1. Substituindo:
f(x) = -2\bigl((x-1)^{2}-1\bigr)-1 = -2(x-1)^{2} +2 -1 = -2(x-1)^{2}+1.
Essa forma mostra explicitamente que o vértice é (1,1) e, como o coeficiente de (x-1)^{2} é negativo, trata-se de um máximo igual a 1.

Resposta

x do vértice: 1
Ponto de máximo (vértice): (1,1)

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