Calcule o x do vértice das funções quadráticas a seguir, na sequência determine o ponto onde a parábola atinge seu valor máximo ou mínimo:
f(x)=3 x^{2}+9 x+2

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática f(x)=3x^{2}+9x+2 e pede duas coisas:
  • Calcular o valor de x do vértice da parábola.
  • Determinar o ponto (coordenadas) onde a parábola atinge seu valor máximo ou mínimo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Coeficiente a=3.
  • Coeficiente b=9.
  • Coeficiente c=2.

Passo 2

Breve explicação do que é o vértice e por que ele importa (de forma didática):
  • Uma função quadrática f(x)=ax^{2}+bx+c representa uma parábola.
  • O vértice é o ponto onde a parábola atinge seu valor extremo (máximo ou mínimo).
  • O tipo do extremo depende do sinal de a:
    • Se a>0, a parábola abre para cima e o vértice é um mínimo.
    • Se a<0, abre para baixo e o vértice é um máximo.

Passo 3

Derivação do método usado para encontrar o vértice (completar o quadrado, passo a passo):
  • Começamos com a forma geral \,f(x)=ax^{2}+bx+c, com a\neq0.
  • Fatore a nos dois primeiros termos: f(x)=a\!\left(x^{2}+\frac{b}{a}x\right)+c.
  • Agora completamos o quadrado dentro do parêntese. Lembrando que x^{2}+\frac{b}{a}x=\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}.
  • Substituindo isso em f(x): f(x)=a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}\right)+c.
  • Distribuindo a e simplificando o termo constante: f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^{2}}{4a}+c.
  • Dessa forma, a função fica escrita como f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}+\left(c-\frac{b^{2}}{4a}\right).
  • Observação importante: a expressão do quadrado é sempre maior ou igual a zero. Portanto, o termo constante c-\dfrac{b^{2}}{4a} é o valor mínimo (se a>0) ou máximo (se a<0) atingido quando o quadrado é zero.
  • Assim, a coordenada x do vértice é x_{v}=-\frac{b}{2a},e a ordenada do vértice (valor extremo) é y_{v}=c-\frac{b^{2}}{4a}.
  • Aqui, a, b, c são os coeficientes da função quadrática dada; x_{v} é o x do vértice e y_{v} é o valor da função em x_{v}.

Passo 4

Aplicando as fórmulas aos coeficientes dados a=3, b=9, c=2.
Calcular x_{v}:
x_{v}=-\frac{b}{2a}=-\frac{9}{2\cdot 3}=-\frac{9}{6}=-\frac{3}{2}.

Passo 5

Calcular y_{v}=f\!\left(x_{v}\right). Substituindo x_{v}=-\dfrac{3}{2} diretamente em f(x):
Primeiro calcule cada termo:
\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4},
3\cdot\frac{9}{4}=\frac{27}{4},
9\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=-\frac{27}{2}=-\frac{54}{4},
2=\frac{8}{4}.
Somando em quarto:
y_{v}= \frac{27}{4}-\frac{54}{4}+\frac{8}{4}=\frac{27-54+8}{4}=\frac{-19}{4}.
Também é possível verificar usando a fórmula direta y_{v}=c-\dfrac{b^{2}}{4a}:
y_{v}=2-\frac{9^{2}}{4\cdot 3}=2-\frac{81}{12}=2-\frac{27}{4}=\frac{8-27}{4}=-\frac{19}{4},
coincidindo com o cálculo anterior.

Passo 6

Interpretando o resultado: como a=3>0, a parábola abre para cima e, portanto, o vértice é um ponto de mínimo. O mínimo ocorre em x_{v}=-\dfrac{3}{2} e o valor mínimo da função é y_{v}=-\dfrac{19}{4}.
Força aí — você já pegou o jeito: fórmula do vértice -\dfrac{b}{2a} e completar quadrado são as ferramentas que salvam tempo na prova.

Resposta

x do vértice: -\dfrac{3}{2}
Vértice (ponto de mínimo): \left(-\dfrac{3}{2}, -\dfrac{19}{4}\right)

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