Determine os pontos de interseção da hipérbole x^{2}-4 y^{2}-20=0 com a parábola y^{2}-3 x=0.

Passo 1

O enunciado pede os pontos de interseção entre a hipérbole
x^{2} - 4y^{2} - 20 = 0
e a parábola
y^{2} - 3x = 0.
O que vamos precisar é de substituição: expressar uma variável em função da outra a partir de uma curva e inserir na outra, reduzindo o sistema a uma equação em uma única incógnita.

Passo 2

Da parábola tiramos
y^{2} - 3x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{y^{2}}{3}.

Passo 3

Substituímos x = \tfrac{y^{2}}{3} na equação da hipérbole:
\Bigl(\tfrac{y^{2}}{3}\Bigr)^{2} - 4y^{2} - 20 = 0.

Passo 4

Simplificando temos
\frac{y^{4}}{9} - 4y^{2} - 20 = 0 \quad\Longrightarrow\quad y^{4} - 36y^{2} - 180 = 0,
multiplicando tudo por 9.

Passo 5

Fazemos a troca t = y^{2}, obtendo a equação quadrática
t^{2} - 36t - 180 = 0.
Usamos a fórmula de Bhaskara:
t = \frac{36 \pm \sqrt{36^{2} + 4\cdot180}}{2} = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 720}}{2} = \frac{36 \pm \sqrt{2016}}{2} = 18 \pm 2\sqrt{126}.
Como \sqrt{126}=3\sqrt{14}, fica
t = 18 \pm 6\sqrt{14}.

Passo 6

Temos t=y^2, logo
y^{2} = 18 + 6\sqrt{14} \quad\text{ou}\quad y^{2} = 18 - 6\sqrt{14}.
Mas 18 - 6\sqrt{14}<0, não gera y real. Então
y = \pm \sqrt{18 + 6\sqrt{14}}.

Passo 7

Para cada valor de y calculamos
x = \frac{y^{2}}{3} = \frac{18 + 6\sqrt{14}}{3} = 6 + 2\sqrt{14}.

Resposta

As interseções são
\bigl(6 + 2\sqrt{14},\;\sqrt{18 + 6\sqrt{14}}\bigr) \quad\text{e}\quad \bigl(6 + 2\sqrt{14},\;-\sqrt{18 + 6\sqrt{14}}\bigr).

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