Questão 3: (Valor: 3 pontos) Considere os vetores \vec{u}=2 \vec{i}+\vec{j}-2 \vec{k} e \vec{v}=3 \vec{i}+2 \vec{j}+\vec{k}. Determine:
(c) A medida do ângulo entre os vetores \vec{u} e \vec{v}.

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores
\vec{u} = 2\vec{i} + \vec{j} - 2\vec{k}, \quad \vec{v} = 3\vec{i} + 2\vec{j} + \vec{k}
e pede a medida do ângulo \theta entre eles. Vamos usar a fórmula
\cos(\theta) = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\;\|\vec{v}\|},
onde \vec{u}\cdot\vec{v} é o produto escalar e \|\cdot\| é a norma do vetor.

Passo 2

Calculamos o produto escalar
\vec{u}\cdot\vec{v} = (2)(3) + (1)(2) + (-2)(1) = 6 + 2 - 2 = 6.

Passo 3

Calculamos as normas:
\|\vec{u}\| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3,
\|\vec{v}\| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}.

Passo 4

Substituímos na fórmula do cosseno:
\cos(\theta) = \frac{6}{3 \,\sqrt{14}} = \frac{2}{\sqrt{14}} = \frac{2\sqrt{14}}{14} = \frac{\sqrt{14}}{7}.

Passo 5

Finalmente,
\theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{2}{\sqrt{14}}\bigr).
Em graus, numericamente
\theta \approx 57,7^\circ.

Resposta

\theta = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{2}{\sqrt{14}}\Bigr)\approx 57,7^\circ.

Exercícios relacionados