Determine os pontos de interseção da reta que passa pelos pontos A=(1,-6,-9) e B=(1,18,15) e a circunferência de equação x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-4 y-6 z-2=0.
Escolha uma opção:
a. P_{1}=(1,6,3) e P_{2}=(1,2,-1)
b. P_{1}=(1,2,7) e P_{2}=(5,2,3)
c. P_{1}=(1,6,3) e P_{2}=(-3,2,3)
d. P_{1}=(1,2,7) e P_{2}=(1,-2,3)
e. P_{1}=(1,6,3) e P_{2}=(1,2,7)
f. P_{1}=(1,6,3) e P_{2}=(5,2,3)

Passo 1

O enunciado pede os pontos de interseção da reta que passa por A=(1,-6,-9) e B=(1,18,15) com a “circunferência” cuja equação em \mathbb{R}^3 é
x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x-4y-6z-2=0.
Na verdade trata-se de uma esfera. Vamos precisar de (i) sua centro e raio e (ii) a forma paramétrica da reta AB, para depois resolver a equação da esfera em função do parâmetro.

Passo 2

Para achar o centro e o raio da esfera, completamos quadrados em
x^{2}-2x,\quad y^{2}-4y,\quad z^{2}-6z.
Temos
x^{2}-2x=(x-1)^2-1,\quad y^{2}-4y=(y-2)^2-4,\quad z^{2}-6z=(z-3)^2-9.
Substituindo na equação da esfera:
(x-1)^2-1+(y-2)^2-4+(z-3)^2-9-2=0
\Longrightarrow (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2-16=0,
logo o centro é C=(1,2,3) e o raio é R=4.

Passo 3

A reta que passa por A e B tem vetor direção
\overrightarrow{AB}=B-A=(1-1,\;18-(-6),\;15-(-9))=(0,24,24),
que pode ser simplificado para (0,1,1). Tomando parâmetro s, sua equação fica
x(s)=1,\quad y(s)=-6+s,\quad z(s)=-9+s.

Passo 4

Para encontrar as interseções, impomos que o ponto (x(s),y(s),z(s)) satisfaça a equação da esfera:
(x(s)-1)^2+(y(s)-2)^2+(z(s)-3)^2=16.
Como x(s)-1=0, temos
(y(s)-2)^2+(z(s)-3)^2=(s-8)^2+(s-12)^2=16.

Passo 5

Expandindo e somando:
(s-8)^2+(s-12)^2=s^2-16s+64 + s^2-24s+144 =2s^2-40s+208.
Então
2s^2-40s+208=16 \quad\Longrightarrow\quad s^2-20s+96=0.
O discriminante é \Delta=400-384=16, de onde
s=\frac{20\pm4}{2}\;\Longrightarrow\;s_1=8,\;s_2=12.

Passo 6

Para s_1=8:
x=1,\quad y=-6+8=2,\quad z=-9+8=-1 \quad\Longrightarrow\;(1,2,-1).
Para s_2=12:
x=1,\quad y=-6+12=6,\quad z=-9+12=3 \quad\Longrightarrow\;(1,6,3).

Passo 7

Comparando com as opções, vemos que corresponder a
P_1=(1,6,3),\quad P_2=(1,2,-1)
é a alternativa (a).

Resposta

(a) P_{1}=(1,6,3) e P_{2}=(1,2,-1)

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