Determine os pontos de máximo e de mínimo de
quando
.
Passo 1
Resumo do exercício: Queremos encontrar os pontos de máximo e mínimo da função $ f(x, y) = 2xy $ dentro da região definida por $ x^2 + y^2 \leq 1 $. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente otimização de funções de duas variáveis com restrição. Precisaremos calcular derivadas parciais para identificar pontos críticos e também analisar a função na fronteira da região.
Passo 2
Encontrando pontos críticos dentro da região:
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos essas derivadas a zero:
Portanto, o único ponto crítico dentro da região é $ (0, 0) $.
Passo 3
Valor da função no ponto crítico:
Vamos calcular o valor de $ f $ no ponto $ (0, 0) $:
Passo 4
Analisando a fronteira da região $ x^2 + y^2 = 1 $:
Para verificar se há máximos ou mínimos na fronteira, vamos parametrizar o círculo usando coordenadas polares:
Substituindo na função $ f $:
Passo 5
Encontrando os valores máximos e mínimos na fronteira:
A função $ \sin 2\theta $ varia entre -1 e 1. Portanto:
- Máximo: $ \sin 2\theta = 1 $
- Mínimo: $ \sin 2\theta = -1 $
Passo 6
Determinação dos pontos onde ocorrem os máximos e mínimos:
Para $ \sin 2\theta = 1 $:
Os pontos correspondentes são:
Para $ \sin 2\theta = -1 $:
Os pontos correspondentes são:
Resposta
Os pontos de máximo de $ f $ são $ \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right) $ e $ \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) $ com valor 1, e os pontos de mínimo são $ \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right) $ e $ \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) $ com valor -1.