Determine os pontos de máximo e mínimo absolutos, bem como os valores de máximo e mínimo absoluto da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de máximo e mínimo absolutos da função $ f(x) = 3x^{4} - 4x^{3} - 12x^{2} + 1 $ no intervalo
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, especificamente sobre derivadas e análise de funções. Vamos precisar calcular a derivada da função para achar os pontos críticos onde podem estar esses máximos e mínimos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos ajuda a entender onde a função está aumentando ou diminuindo.
Calculando cada termo:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Esses pontos ocorrem onde a derivada é zero ou não existe. No nosso caso, a derivada é um polinômio, então sempre existe. Então, vamos igualar $ f’(x) $ a zero:
Podemos fatorar:
Isso dá:
Resolvendo:
Então:
Passo 4
Agora, vamos avaliar a função $ f(x) $ nesses pontos críticos e também nas extremidades do intervalo
:
- $ x = -2 $:
- $ x = -1 $:
- $ x = 0 $:
- $ x = 2 $:
- $ x = 3 $:
Passo 5
Agora, vamos comparar todos os valores que calculamos:
O maior valor é 33 e o menor valor é -31.
Resposta
O máximo absoluto da função ocorre em $ x = -2 $ com valor $ f(-2) = 33 $, e o mínimo absoluto ocorre em $ x = 2 $ com valor $ f(2) = -31 $.