Determine os pontos de máximo e mínimo absolutos, bem como os valores de máximo e mínimo absoluto da função f(x)=3 x^4-4 x^3-12 x^2+1, x in[-2,3].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de máximo e mínimo absolutos da função $ f(x) = 3x^{4} - 4x^{3} - 12x^{2} + 1 $ no intervalo f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 1 . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, especificamente sobre derivadas e análise de funções. Vamos precisar calcular a derivada da função para achar os pontos críticos onde podem estar esses máximos e mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos ajuda a entender onde a função está aumentando ou diminuindo.
f(x)
Calculando cada termo:
f'(x) = ddx(3x^4) - ddx(4x^3) - ddx(12x^2) + ddx(1)

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Esses pontos ocorrem onde a derivada é zero ou não existe. No nosso caso, a derivada é um polinômio, então sempre existe. Então, vamos igualar $ f’(x) $ a zero:
f'(x)
Podemos fatorar:
12x^3 - 12x^2 - 24x = 0
Isso dá:
12x(x^2 - x - 2) = 0
Resolvendo:
12x = 0 ou x^2 - x - 2 = 0
Então:
x = 0 ou x = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32

Passo 4

Agora, vamos avaliar a função $ f(x) $ nesses pontos críticos e também nas extremidades do intervalo f(x) :
  1. $ x = -2 $:
[-2, 3]
  1. $ x = -1 $:
x = -2
  1. $ x = 0 $:
f(-2) = 3(-2)^4 - 4(-2)^3 - 12(-2)^2 + 1 = 3(16) - 4(-8) - 12(4) + 1 = 48 + 32 - 48 + 1 = 33
  1. $ x = 2 $:
x = -1
  1. $ x = 3 $:
f(-1) = 3(-1)^4 - 4(-1)^3 - 12(-1)^2 + 1 = 3(1) - 4(-1) - 12(1) + 1 = 3 + 4 - 12 + 1 = -4

Passo 5

Agora, vamos comparar todos os valores que calculamos:
f(-2) &= 33 f(-1) &= -4 f(0) &= 1 f(2) &= -31 f(3) &= 28
O maior valor é 33 e o menor valor é -31.

Resposta

O máximo absoluto da função ocorre em $ x = -2 $ com valor $ f(-2) = 33 $, e o mínimo absoluto ocorre em $ x = 2 $ com valor $ f(2) = -31 $.

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