Usando a derivada da transformada de Laplace, calcule:
Lt cosh (a t)

Passo 1

O enunciado pede para calcular Ltcosh(at). O conteúdo principal é transformada de Laplace, usando a propriedade que relaciona multiplicação por t no tempo com derivada em s. Vamos precisar também da transformada de cosh(at).

Passo 2

Primeiro, lembramos que Lcosh(at)(s)=ss^2-a^2. Esse resultado vem da definição de cosh(at)=(e^at+e^-at)/2.
A propriedade da transformada de Laplace para t,f(t) é
Lt,f(t)(s)=-ddsl[Lf(t)(s)r]

Passo 3

Aplicando essa propriedade ao nosso caso, seja
F(s)=Lcosh(at)(s)=ss^2-a^2
Então
Ltcosh(at)(s)=-ddsl(ss^2-a^2r)

Passo 4

Agora calculamos a derivada:
ddsl(ss^2-a^2r) =(1)(s^2-a^2)-scdot(2s)(s^2-a^2)^2 =s^2-a^2-2s^2(s^2-a^2)^2 =-s^2-a^2(s^2-a^2)^2

Passo 5

Portanto,
Ltcosh(at)(s)=-l(-s^2-a^2(s^2-a^2)^2r) =s^2+a^2(s^2-a^2)^2

Resposta

s^2+a^2(s^2-a^2)^2

Exercícios relacionados