Utilize a integral da transformada de Laplace para demonstrar que:
Lsenh tt=12 ln (s+1s-1)

Passo 1

A questão pede para demonstrar que a transformada de Laplace de sinh tt é tfrac12lnl(tfracs+1s-1r). O conteúdo aqui é a definição integral da transformada de Laplace e a aplicação de uma fórmula clássica de integração envolvendo 1/t. Vamos usar: a definição de Lf(t)=integral0^inftye^-stf(t),dt e a fórmula
integral0^inftye^-at-e^-btt,dt=lnba,Re(a),Re(b)>0

Passo 2

Começamos pela definição da transformada de Laplace: queremos
Llsinh ttr(s)=integral0^inftye^-stsinh tt,dt

Passo 3

Lembrando que sinh t=tfrace^t-e^-t2, substituímos dentro da integral:
integral0^inftye^-stsinh tt,dt=12integral0^inftye^-ste^t-e^-tt,dt

Passo 4

Distributindo o e^-st e separando a integral, fica:
12integral0^inftye^-t(s-1)-e^-t(s+1)t,dt

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula conhecida
integral0^inftye^-a t-e^-b tt,dt=lnba
com a=s-1 e b=s+1, supondo Re(s)>1 para convergência.

Passo 6

Substituindo na expressão obtemos
12lns+1s-1
e assim demonstramos o resultado desejado.

Resposta

tfrac12lnl(tfracs+1s-1r)

Exercícios relacionados