Seja dada f(x, y, z)=\ln \left(z-\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right).
(a) Calcule f(4,-3,6).
(b) Determine e descreva o domínio de f.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y,z)=\ln\bigl(z-\sqrt{x^2+y^2}\bigr)
e pede:
(a) o valor de f(4,-3,6),
(b) a descrição do domínio de f.
O conteúdo principal é análise de domínio de função de várias variáveis envolvendo logaritmo (que exige argumento positivo) e raiz quadrada.

Passo 2

Para calcular f(4,-3,6) primeiro avaliamos
\sqrt{4^2+(-3)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.
Em seguida, dentro do logaritmo temos
6-\sqrt{4^2+(-3)^2}=6-5=1,
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f(4,-3,6)=\ln(1)=0.

Passo 3

Para determinar o domínio de f precisamos que o argumento do logaritmo seja estritamente positivo, isto é,
z-\sqrt{x^2+y^2}>0.
Além disso, a expressão \sqrt{x^2+y^2} está bem definida para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2.

Passo 4

A desigualdade
z-\sqrt{x^2+y^2}>0
é equivalente a z>\sqrt{x^2+y^2}. Geometricamente, isso corresponde ao conjunto de pontos em \mathbb{R}^3 que estão estritamente acima do cone reto de vértice na origem e eixo ao longo do eixo z.

Resposta

(a) f(4,-3,6)=0.
(b) \displaystyle \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid z>\sqrt{x^2+y^2}\}.

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