Para cada uma das funções abaixo, encontre os pontos críticos e classifiqueos como mínimo local, máximo local, ponto de sela ou inconclusivo.
Passo 1
O enunciado pede para a função encontrarmos seus pontos críticos e classificá-los (mínimo, máximo, sela ou inconclusivo). O conteúdo envolve cálculo de gradiente e classificação via teste da segunda derivada (Hessiana).
Passo 2
Vamos calcular o gradiente de . Note que podemos escrever com e . Aplicando a regra do produto e cadeia:
De modo análogo,
Passo 3
Para achar pontos críticos, igualamos cada componente do gradiente a zero. Como para todo , temos as equações
onde . Não há solução para , então as únicas soluções são . Logo o único ponto crítico é .
Passo 4
Para classificar , usamos o teste da Hessiana. Note que, ao expandir em série de Taylor até a ordem 2 em torno da origem, fica . Assim a Hessiana em é simplesmente
que é positiva definida (todos os autovalores são positivos). Portanto (0,0,0) é um mínimo local.
Passo 5
Não há outros pontos críticos além de (0,0,0), e a análise acima já classifica completamente o único ponto encontrado.
Resposta
O único ponto crítico é (0,0,0), que é um mínimo local.