Para cada uma das funções abaixo, encontre os pontos críticos e classifiqueos como mínimo local, máximo local, ponto de sela ou inconclusivo.
f(x, y, z)=(x^2+2 y^2+3 z^2) e^(x^2+y^2+z^2)

Passo 1

O enunciado pede para a função f(x,y,z)=(x^2+2y^2+3z^2)e^(x^2+y^2+z^2) encontrarmos seus pontos críticos e classificá-los (mínimo, máximo, sela ou inconclusivo). O conteúdo envolve cálculo de gradiente e classificação via teste da segunda derivada (Hessiana).

Passo 2

Vamos calcular o gradiente de f. Note que podemos escrever f=g,e^h com g=x^2+2y^2+3z^2 e h=x^2+y^2+z^2. Aplicando a regra do produto e cadeia:
partial fpartial x=partial gpartial xe^h+g e^hpartial hpartial x=e^h(2x+2xg)=2x(1+g)e^h
De modo análogo,
partial fpartial y=2y(2+g)e^h, partial fpartial z=2z(3+g)e^h

Passo 3

Para achar pontos críticos, igualamos cada componente do gradiente a zero. Como e^h>0 para todo (x,y,z), temos as equações
x(1+g)=0, y(2+g)=0, z(3+g)=0,
onde g=x^2+2y^2+3z^2>=0. Não há solução para g=-1,-2,-3, então as únicas soluções são x=0,y=0,z=0. Logo o único ponto crítico é (0,0,0).

Passo 4

Para classificar (0,0,0), usamos o teste da Hessiana. Note que, ao expandir f em série de Taylor até a ordem 2 em torno da origem, fica fapprox x^2+2y^2+3z^2. Assim a Hessiana em (0,0,0) é simplesmente
D^2f(0,0,0)=2&0&00&4&00&0&6,
que é positiva definida (todos os autovalores são positivos). Portanto (0,0,0) é um mínimo local.

Passo 5

Não há outros pontos críticos além de (0,0,0), e a análise acima já classifica completamente o único ponto encontrado.

Resposta

O único ponto crítico é (0,0,0), que é um mínimo local.

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