Determine os pontos de máximo e mínimo locais de
e classifique-os como Máximo Local, Mínimo Local ou Ponto de Sela.
Passo 1
Então, a gente tem a função $ z = 5y + 4x - x^2 - y^2 $. A pergunta é para encontrar os pontos onde essa função tem valores máximos ou mínimos locais e dizer se são máximos, mínimos ou pontos de sela. Para resolver isso, a gente vai precisar usar cálculo, especificamente derivadas parciais, e o teste da segunda derivada para classificar os pontos encontrados.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Os pontos críticos são onde as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.
Calculando a derivada parcial em relação a $ x $:
E a derivada parcial em relação a $ y $:
Passo 3
Agora, vamos resolver o sistema de equações onde essas derivadas são iguais a zero:
Resolvendo a primeira equação para $ x $:
E a segunda equação para $ y $:
Então, o ponto crítico é $ (2, 2,5) $.
Passo 4
Agora, vamos classificar esse ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
Calculamos então o discriminante $ D $:
Passo 5
Com o valor de $ D = 4 $ e sabendo que $ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -2 < 0 $, de acordo com o teste da segunda derivada:
- Se $ D > 0 $ e $ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} < 0 $, o ponto crítico é um máximo local.
- Se $ D > 0 $ e $ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} > 0 $, o ponto crítico é um mínimo local.
- Se $ D < 0 $, o ponto crítico é um ponto de sela.
- Se $ D = 0 $, o teste é inconclusivo.
No nosso caso, como $ D = 4 > 0 $ e $ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -2 < 0 $, o ponto $ (2, 2,5) $ é um máximo local.
Resposta
O ponto $ (2, 2,5) $ é um máximo local para a função $ z = 5y + 4x - x^2 - y^2 $.