Determine os pontos de máximo e mínimo locais de z=5 y+4 x-x^2-y^2 e classifique-os como Máximo Local, Mínimo Local ou Ponto de Sela.

Passo 1

Então, a gente tem a função $ z = 5y + 4x - x^2 - y^2 $. A pergunta é para encontrar os pontos onde essa função tem valores máximos ou mínimos locais e dizer se são máximos, mínimos ou pontos de sela. Para resolver isso, a gente vai precisar usar cálculo, especificamente derivadas parciais, e o teste da segunda derivada para classificar os pontos encontrados.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Os pontos críticos são onde as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.
Calculando a derivada parcial em relação a $ x $:
x
E a derivada parcial em relação a $ y $:
y

Passo 3

Agora, vamos resolver o sistema de equações onde essas derivadas são iguais a zero:
4 - 2x = 0 5 - 2y = 0
Resolvendo a primeira equação para $ x $:
x
E a segunda equação para $ y $:
4 - 2x = 0 Rightarrow 2x = 4 Rightarrow x = 2
Então, o ponto crítico é $ (2, 2,5) $.

Passo 4

Agora, vamos classificar esse ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
partial^2 zpartial x^2 = -2
partial^2 zpartial y^2 = -2
partial^2 zpartial x partial y = 0
Calculamos então o discriminante $ D $:
D

Passo 5

Com o valor de $ D = 4 $ e sabendo que $ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -2 < 0 $, de acordo com o teste da segunda derivada:
  • Se $ D > 0 $ e $ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} < 0 $, o ponto crítico é um máximo local.
  • Se $ D > 0 $ e $ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} > 0 $, o ponto crítico é um mínimo local.
  • Se $ D < 0 $, o ponto crítico é um ponto de sela.
  • Se $ D = 0 $, o teste é inconclusivo.
No nosso caso, como $ D = 4 > 0 $ e $ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -2 < 0 $, o ponto $ (2, 2,5) $ é um máximo local.

Resposta

O ponto $ (2, 2,5) $ é um máximo local para a função $ z = 5y + 4x - x^2 - y^2 $.

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