Exercício 4: Use a
forma do TFC para calcular a derivada das seguintes funções:
a)
.
a)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular
, a derivada de
em relação a
.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A integral é definida com limite inferior constante
e limite superior igual a . - O integrando é
. - O domínio declarado é
.
Passo 2
Enunciado da 1ª forma do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) que vou usar: se
é contínua num intervalo que contém o ponto
e o ponto
, então a função
é diferenciável em
e vale
Aqui
é uma constante (no nosso caso
),
é a variável de integração, e
é a variável onde queremos a derivada.
Passo 3
Breve justificativa (intuição) do porquê do TFC funcionar: pela definição de derivada,
Se
é contínua em
, o Teorema do Valor Médio para integrais garante que existe
entre
e
tal que
Então
pela continuidade de
. Portanto
.
Passo 4
Verificação das hipóteses no nosso caso: tomar
.
- A função
é contínua para todo . - A função
é contínua e não nula para . - Logo o quociente
é contínuo em todo o intervalo .
Como o enunciado exige, para cada existe um intervalo ao redor de onde é contínua, então a hipótese do TFC está satisfeita.
Passo 5
Aplicando diretamente a 1ª forma do TFC ao nosso
com
, obtemos
Passo 6
Comentário final e dica para a prova: mesmo se
(mas ainda
), a fórmula
continua válida — o sinal da integral pode inverter, mas a derivada em relação ao limite superior é sempre o integrando avaliado no limite superior. Se o limite superior fosse uma função
(não apenas
), então por regra da cadeia teríamos
Isso é útil para variações do exercício na prova.