Exercício 4: Use a 1^{\underline{\mathrm{a}}} forma do TFC para calcular a derivada das seguintes funções:
a) F(x)=\int_{3}^{x} \frac{2^{t}}{\sqrt{t}} d t, x>0.

Passo 1

O enunciado dá a função
F(x)=\int_{3}^{x} \frac{2^{t}}{\sqrt{t}}\,dt,\qquad x>0,
e pede para calcular F'(x), a derivada de F em relação a x.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A integral é definida com limite inferior constante 3 e limite superior igual a x.
  • O integrando é f(t)=\dfrac{2^{t}}{\sqrt{t}}.
  • O domínio declarado é x>0.

Passo 2

Enunciado da 1ª forma do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) que vou usar: se f é contínua num intervalo que contém o ponto a e o ponto x, então a função
G(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt
é diferenciável em x e vale
\frac{d}{dx}\int_{a}^{x} f(t)\,dt = f(x).
Aqui a é uma constante (no nosso caso a=3), t é a variável de integração, e x é a variável onde queremos a derivada.

Passo 3

Breve justificativa (intuição) do porquê do TFC funcionar: pela definição de derivada,
G'(x)=\lim_{h\to0}\frac{G(x+h)-G(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h} f(t)\,dt.
Se f é contínua em x, o Teorema do Valor Médio para integrais garante que existe c_h entre x e x+h tal que
\int_{x}^{x+h} f(t)\,dt = f(c_h)\,h.
Então
\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h} f(t)\,dt = f(c_h)\longrightarrow f(x) \quad\text{quando }h\to0,
pela continuidade de f. Portanto G'(x)=f(x).

Passo 4

Verificação das hipóteses no nosso caso: tomar f(t)=\dfrac{2^{t}}{\sqrt{t}}.
  • A função t\mapsto 2^{t} é contínua para todo t\in\mathbb{R}.
  • A função t\mapsto \sqrt{t} é contínua e não nula para t>0.
  • Logo o quociente f(t)=\dfrac{2^{t}}{\sqrt{t}} é contínuo em todo o intervalo (0,\infty).
    Como o enunciado exige x>0, para cada x>0 existe um intervalo ao redor de x onde f é contínua, então a hipótese do TFC está satisfeita.

Passo 5

Aplicando diretamente a 1ª forma do TFC ao nosso F(x)=\int_{3}^{x} f(t)\,dt com f(t)=\dfrac{2^{t}}{\sqrt{t}}, obtemos
F'(x)=f(x)=\frac{2^{x}}{\sqrt{x}},\qquad x>0.

Passo 6

Comentário final e dica para a prova: mesmo se x<3 (mas ainda x>0), a fórmula F'(x)=f(x) continua válida — o sinal da integral pode inverter, mas a derivada em relação ao limite superior é sempre o integrando avaliado no limite superior. Se o limite superior fosse uma função g(x) (não apenas x), então por regra da cadeia teríamos
\frac{d}{dx}\int_{3}^{g(x)} f(t)\,dt = f\big(g(x)\big)\,g'(x).
Isso é útil para variações do exercício na prova.

Resposta

\displaystyle F'(x)=\frac{2^{x}}{\sqrt{x}}

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