Passo 1
O enunciado pede para analisar e, se possível, calcular a integral imprópria
Informações relevantes que o enunciado dá:
- O limite inferior é
. - O integrando é
. - É uma integral sobre um intervalo não limitado à direita, ou seja, uma integral imprópria do tipo
.
A pergunta implícita é: essa integral converge (tem valor finito) ou diverge (vai para infinito ou não existe)?
Passo 2
Definição prática de integral imprópria usada aqui: a integral
é definida como o limite
Para decidir convergência basta estudar o comportamento da primitiva ou comparar com funções mais simples por meio de testes de comparação.
Passo 3
Observe o comportamento da função
para
. Como a função
é crescente, para
temos
portanto
Essa desigualdade é válida para todo
.
Passo 4
Integramos a desigualdade no intervalo
(com
):
Agora tomamos
. O lado direito tende a
, logo o lado esquerdo (a integral própria até
) também tende a
. Assim
o que significa que a integral imprópria diverge.
Passo 5
Para dar mais intuição, faço uma verificação via integração por partes da primitiva (sem necessidade para concluir a divergência, é só para entender o crescimento). Tome
e
. Então
e
. A integração por partes dá
A integral
não tem primitiva elementar (é a função logarítmica integral, geralmente anotada
), e cresce mais lentamente que
. Por exemplo,
tem crescimento assintótico aproximadamente
, logo
confirmando que a primitiva explode para
e a integral imprópria diverge.
Passo 6
Conclusão final: a integral não converge; ela diverge e o valor tende a
.
Resposta
Diverge para