\int_{e^{e}}^{\infty} \ln (\ln x) d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar e, se possível, calcular a integral imprópria
\int_{e^{e}}^{\infty} \ln(\ln x)\,dx.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • O limite inferior é e^{e}.
  • O integrando é \ln(\ln x).
  • É uma integral sobre um intervalo não limitado à direita, ou seja, uma integral imprópria do tipo \int_{a}^{\infty} f(x)\,dx.
    A pergunta implícita é: essa integral converge (tem valor finito) ou diverge (vai para infinito ou não existe)?

Passo 2

Definição prática de integral imprópria usada aqui: a integral
\int_{e^{e}}^{\infty} \ln(\ln x)\,dx
é definida como o limite
\lim_{R\to\infty}\int_{e^{e}}^{R}\ln(\ln x)\,dx.
Para decidir convergência basta estudar o comportamento da primitiva ou comparar com funções mais simples por meio de testes de comparação.

Passo 3

Observe o comportamento da função \ln(\ln x) para x\ge e^{e}. Como a função \ln é crescente, para x\ge e^{e} temos
\ln x \ge e,
portanto
\ln(\ln x) \ge \ln(e)=1.
Essa desigualdade é válida para todo x\ge e^{e}.

Passo 4

Integramos a desigualdade no intervalo [e^{e},R] (com R\ge e^{e}):
\int_{e^{e}}^{R}\ln(\ln x)\,dx \ge \int_{e^{e}}^{R} 1\,dx = R-e^{e}.
Agora tomamos R\to\infty. O lado direito tende a +\infty, logo o lado esquerdo (a integral própria até R) também tende a +\infty. Assim
\lim_{R\to\infty}\int_{e^{e}}^{R}\ln(\ln x)\,dx = +\infty,
o que significa que a integral imprópria diverge.

Passo 5

Para dar mais intuição, faço uma verificação via integração por partes da primitiva (sem necessidade para concluir a divergência, é só para entender o crescimento). Tome u=\ln(\ln x) e dv=dx. Então du=\dfrac{1}{x\ln x}\,dx e v=x. A integração por partes dá
\int \ln(\ln x)\,dx = x\ln(\ln x) - \int \frac{1}{\ln x}\,dx + C.
A integral \int \dfrac{1}{\ln x}\,dx não tem primitiva elementar (é a função logarítmica integral, geralmente anotada \operatorname{li}(x)), e cresce mais lentamente que x\ln(\ln x). Por exemplo, \operatorname{li}(x) tem crescimento assintótico aproximadamente x/\ln x, logo
x\ln(\ln x) - \operatorname{li}(x)\to +\infty\quad\text{quando }x\to\infty,
confirmando que a primitiva explode para +\infty e a integral imprópria diverge.

Passo 6

Conclusão final: a integral não converge; ela diverge e o valor tende a +\infty.

Resposta

Diverge para +\infty

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