Determine os pontos de máximo relativo, mínimo relativo e de sela que existirem na função f(x, y)=x^2+2 x y+3 y^2+2 x+10 y+9.

Passo 1

Resumo da questão: temos uma função quadrática em duas variáveis f(x,y)=x^2+2xy+3y^2+2x+10y+9 e queremos achar seus pontos críticos e classificar cada um (máximo, mínimo ou sela) usando derivadas parciais e o teste da Hessiana.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais e resolver o sistema estacionário: fx=2x+2y+2 e fy=2x+6y+10. Igualando-as a zero, obtemos o sistema
2x+2y+2=0 2x+6y+10=0 Resolvendo dá y=-2 e x=1, logo o ponto crítico é (1,-2).

Passo 3

Determinar a Hessiana e aplicar o teste de classificação:
H=fxx&fxyfyx&fyy =2&22&6
O determinante de H é det(H)=2cdot6-2cdot2=8>0 e fxx=2>0, indicando que (1,-2) é ponto de mínimo relativo.

Passo 4

Opcional: valor da função no ponto crítico para referência:
f(1,-2)=1+2cdot1(-2)+3cdot(-2)^2+2cdot1+10(-2)+9=0

Resposta

Ponto de mínimo relativo em (1, -2). Não há máximos relativos nem pontos de sela.

Exercícios relacionados