Resolva a equação diferencial linear
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que foi passada:
Esse tipo de equação pertence ao estudo das equações diferenciais lineares. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata ou se precisamos usar um fator integrante. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação. Podemos reescrever a equação na forma:
onde:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de $ M $ em relação a $ y $ e de $ N $ em relação a $ x $:
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x} $, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 4
Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa apenas de $ x $, ou seja, $ \mu(x) $. A condição para isso é:
Substituindo os valores que encontramos:
Essa é uma equação diferencial simples para $ \mu $. Integrando ambos os lados:
Exponenciando para resolver $ \mu $:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(x) = e^{2x} $:
Agora, a nova equação é exata, pois as derivadas parciais são iguais:
Passo 6
Como a equação é exata, existe uma função potencial $ F(x, y) $ tal que:
Para encontrar $ F(x, y) $, integramos $ M $ em relação a $ x $:
Vamos integrar termo a termo:
Somando tudo:
Passo 7
Agora, derivamos $ F(x, y) $ em relação a $ y $ e igualamos a $ N $:
Isso implica que $ g’(y) = 0 $, então $ g(y) $ é constante. Podemos considerar $ g(y) = C $.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.