Resolva a equação diferencial linear
(x^2+y^2+x) d x+y d y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que foi passada:
(x^2+y^2+x) dx + y dy = 0
Esse tipo de equação pertence ao estudo das equações diferenciais lineares. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata ou se precisamos usar um fator integrante. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação. Podemos reescrever a equação na forma:
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0
onde:
M(x, y) = x^2 + y^2 + x
N(x, y) = y

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de $ M $ em relação a $ y $ e de $ N $ em relação a $ x $:
M
y
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x} $, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 4

Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa apenas de $ x $, ou seja, $ \mu(x) $. A condição para isso é:
x
Substituindo os valores que encontramos:
mu(x)
Essa é uma equação diferencial simples para $ \mu $. Integrando ambos os lados:
dmudx = mu cdot partial Mpartial y - partial Npartial xN
Exponenciando para resolver $ \mu $:
dmudx = mu cdot 2y - 0y = 2mu

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(x) = e^{2x} $:
mu(x) = e^2x
Agora, a nova equação é exata, pois as derivadas parciais são iguais:
e^2x(x^2 + y^2 + x) dx + e^2x y dy = 0

Passo 6

Como a equação é exata, existe uma função potencial $ F(x, y) $ tal que:
F(x, y)
Para encontrar $ F(x, y) $, integramos $ M $ em relação a $ x $:
dF = e^2x(x^2 + y^2 + x) dx + e^2x y dy
Vamos integrar termo a termo:
F(x, y)
M
x
Somando tudo:
F(x, y) = integral e^2x(x^2 + y^2 + x) dx + g(y)

Passo 7

Agora, derivamos $ F(x, y) $ em relação a $ y $ e igualamos a $ N $:
F(x, y)
Isso implica que $ g’(y) = 0 $, então $ g(y) $ é constante. Podemos considerar $ g(y) = C $.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
e^2x2 (x^2 + y^2) = C
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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