Resolva a inequação e represente o conjunto solução graficamente na reta real na forma de intervalo.
6 x^{2}-5 x-4>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
6x^{2}-5x-4>0
que é um polinômio quadrático com coeficiente de x^{2} positivo ( a=6>0). O plano de ataque é achar as raízes da equação associada
6x^{2}-5x-4=0
e, em seguida, estudar o sinal do polinômio para determinar onde ele é maior que zero.

Passo 2

Calculamos o discriminante
\Delta = b^{2}-4ac = (-5)^{2}-4\cdot6\cdot(-4) = 25 + 96 = 121.
As raízes vêm de
x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5\pm11}{12}.
Logo,
x_{1} = \frac{5-11}{12} = -\frac{1}{2}, \quad x_{2} = \frac{5+11}{12} = \frac{4}{3}.

Passo 3

Como a=6>0, a parábola abre para cima. Isso significa que
  • 6x^{2}-5x-4>0 para x<x_{1} ou para x>x_{2},
  • e 6x^{2}-5x-4<0 no intervalo \bigl(x_{1},x_{2}\bigr).
Portanto, a solução da inequação é
(-\infty,\,-\tfrac12)\;\cup\;\bigl(\tfrac{4}{3},\,\infty\bigr).
Graficamente, na reta real, marcamos -\tfrac12 e \tfrac{4}{3} com círculos abertos e sombreamos para a esquerda do primeiro ponto e para a direita do segundo.

Resposta

(-\infty,-\tfrac12)\cup\bigl(\tfrac{4}{3},\infty\bigr)

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