Determine pontos de máximos e mínimos locais, pontos de inflexão, intervalos de crescimento e decrescimento, assíntotas e esboçe o gráfico das funções abaixo:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede, para a função
que a gente determine os pontos de máximo e mínimo locais, pontos de inflexão, intervalos de crescimento e decrescimento, bem como as assíntotas, e faça um esboço do gráfico. O conteúdo envolve análise de funções racionais por meio de derivadas primeira e segunda, estudo de domínio e assíntotas.
Passo 2
Primeiro identificamos o domínio e as assíntotas verticais e horizontais.
O denominador se anula em
, então
O denominador
Em
o valor de
tende a
, portanto há duas assíntotas verticais
Como
, existe uma assíntota horizontal
Passo 3
Agora calculamos a derivada primeira para achar monotonicidade e candidatos a extremos.
O numerador zera em
, e o denominador é sempre positivo em todo o domínio. Logo
só em
, e
não muda de sinal em
pois aí não está definido.
Como se e somente se
, concluímos:
Em
e em
:
então
, função crescente.
Em
e em
:
então
, função decrescente.
Como
Passo 4
Classificando o ponto crítico
:
À esquerda de
a função cresce e à direita decresce, portanto
é um ponto de máximo local, com coordenada
Não há nenhum ponto de mínimo local (não há outro zero de
).
Passo 5
Agora a derivada segunda para identificar concavidade e inflexão. Partindo de
fazemos
O numerador
é sempre positivo e o denominador muda de sinal em
. Logo
Em
e em
:
, concavidade para cima.
Em
:
, concavidade para baixo.
Não existem pontos de inflexão pois nunca zera em ponto do domínio (e em
não estão no domínio).
Não existem pontos de inflexão pois
Passo 6
Síntese das assíntotas:
Não há assíntota oblíqua porque o grau do numerador é menor que o do denominador.
Passo 7
Esboço do gráfico (folheando o que encontramos):
. Três ramos, em
, em
e em
.
. Em
e em
a função é decrescente à medida que se aproxima das verticais, com concavidade para cima, tendendo a
quando
.
. No intervalo
há um único ramo, que cresce de
em
até o máximo
em
, e depois decresce de
até
em
, com concavidade para baixo.
. O ponto de máximo local fica em
.
. As assíntotas verticais são retas que o gráfico se aproxima infinitamente, e a horizontal
passa por cima e por baixo conforme
.
Resposta
Pontos de máximo e mínimo locais:
Máximo local em . Não há mínimo local.
Máximo local em
Pontos de inflexão: nenhum.
Intervalos de crescimento:
.
Intervalos de decrescimento:
.
Assíntotas verticais:
e
.
Assíntota horizontal:
.