Determine pontos de máximos e mínimos locais, pontos de inflexão, intervalos de crescimento e decrescimento, assíntotas e esboçe o gráfico das funções abaixo:
(b) f(x)=9x^2-9

Passo 1

O enunciado pede, para a função
f(x)=9x^2-9,
que a gente determine os pontos de máximo e mínimo locais, pontos de inflexão, intervalos de crescimento e decrescimento, bem como as assíntotas, e faça um esboço do gráfico. O conteúdo envolve análise de funções racionais por meio de derivadas primeira e segunda, estudo de domínio e assíntotas.

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio e as assíntotas verticais e horizontais.
O denominador x^2-9 se anula em x=pm 3, então
domínio=Rsetminus,-3,3 í
Em xtopm3 o valor de f(x) tende a pminfty, portanto há duas assíntotas verticais
x=-3 e x=3
Como limxtopminftyf(x)=0, existe uma assíntota horizontal
y=0

Passo 3

Agora calculamos a derivada primeira para achar monotonicidade e candidatos a extremos.
f'(x) =ddxl(9(x^2-9)^-1r) =-9cdot (x^2-9)^-2cdot 2x =-18x(x^2-9)^2
O numerador zera em x=0, e o denominador é sempre positivo em todo o domínio. Logo f'(x)=0 só em x=0, e f'(x) não muda de sinal em pm3 pois aí não está definido.
Como -18x>0 se e somente se x<0, concluímos:
bul<=t Em (-infty,-3) e em (-3,0): x<0 então f'(x)>0, função crescente.
bul<=t Em (0,3) e em (3,infty): x>0 então f'(x)<0, função decrescente.

Passo 4

Classificando o ponto crítico x=0:
f(0)=90-9=-1
À esquerda de 0 a função cresce e à direita decresce, portanto x=0 é um ponto de máximo local, com coordenada
l(0,-1r)
Não há nenhum ponto de mínimo local (não há outro zero de f').

Passo 5

Agora a derivada segunda para identificar concavidade e inflexão. Partindo de
f'(x)=-18x,(x^2-9)^-2,
fazemos
f''(x) =-18,(x^2-9)^-2 -18xcdot(-2)cdot2x,(x^2-9)^-3 =54,(x^2+3)(x^2-9)^3
O numerador 54(x^2+3) é sempre positivo e o denominador muda de sinal em x=pm3. Logo
bul<=t Em (-infty,-3) e em (3,infty): x^2-9>0Rightarrow f''(x)>0, concavidade para cima.
bul<=t Em (-3,3): x^2-9<0Rightarrow f''(x)<0, concavidade para baixo.
Não existem pontos de inflexão pois f''(x) nunca zera em ponto do domínio (e em pm3 não estão no domínio).

Passo 6

Síntese das assíntotas:
Verticais: x=-3,;x=3
Horizontal: y=0
Não há assíntota oblíqua porque o grau do numerador é menor que o do denominador.

Passo 7

Esboço do gráfico (folheando o que encontramos):
1. Três ramos, em (-infty,-3), em (-3,3) e em (3,infty).
2. Em (-infty,-3) e em (3,infty) a função é decrescente à medida que se aproxima das verticais, com concavidade para cima, tendendo a 0 quando xtopminfty.
3. No intervalo (-3,3) há um único ramo, que cresce de -infty em xto-3^+ até o máximo -1 em x=0, e depois decresce de -1 até -infty em xto3^-, com concavidade para baixo.
4. O ponto de máximo local fica em (0,-1).
5. As assíntotas verticais são retas que o gráfico se aproxima infinitamente, e a horizontal y=0 passa por cima e por baixo conforme xtopminfty.

Resposta

Pontos de máximo e mínimo locais:
Máximo local em l(0,-1r). Não há mínimo local.
Pontos de inflexão: nenhum.
Intervalos de crescimento:
(-infty,-3)cup(-3,0).
Intervalos de decrescimento:
(0,3)cup(3,infty).
Assíntotas verticais: x=-3 e x=3.
Assíntota horizontal: y=0.

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