Q 48 É verdade que se g(x) <= f(x) <= h(x) quando x está próximo de a (exceto possivelmente em a ) e lim x a g(x)=L neq M=lim x a h(x), então o lim x a f(x) existe?

Passo 1

O enunciado pergunta se, sempre que temos
,g(x)<= f(x)<= h(x)
próximo a x=a (exceto possivelmente em a) e
limxto ag(x)=Lneq M=limxto ah(x),
então necessariamente limxto af(x) existe. O conteúdo é o Teorema do Confronto (ou Squeeze), que exige limites iguais de g e h para garantir o limite de f. Aqui os limites de g e h são distintos.

Passo 2

Vamos mostrar por contraexemplo que, quando lim gneqlim h, o limite de f pode não existir. A ideia é escolher funções constantes para g e h com limites diferentes em a, e definir f que oscila entre esses valores.

Passo 3

Escolhemos
Então e . Definimos
Note que para todo .

Passo 4

Calculamos
limxto 0^-f(x)=-1, limxto 0^+f(x)=1
Como os limites laterais são diferentes, limxto 0f(x) não existe, embora g(x)<= f(x)<= h(x) e lim gneqlim h.

Resposta

Não. Se lim g(a)neqlim h(a), mesmo com g(x)<= f(x)<= h(x), o limite de f pode não existir (por exemplo, f(x)=sgn(x) entre -1 e 1 em a=0).

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