Q 48 É verdade que se quando está próximo de (exceto possivelmente em ) e , então o existe?
Passo 1
O enunciado pergunta se, sempre que temos
próximo a (exceto possivelmente em ) e ,
então necessariamente existe. O conteúdo é o Teorema do Confronto (ou Squeeze), que exige limites iguais de e para garantir o limite de . Aqui os limites de e são distintos.
Passo 2
Vamos mostrar por contraexemplo que, quando , o limite de pode não existir. A ideia é escolher funções constantes para e com limites diferentes em , e definir que oscila entre esses valores.
Passo 3
Escolhemos
Então e . Definimos
Note que para todo .
Passo 4
Calculamos
limxto 0^-f(x)=-1, limxto 0^+f(x)=1
Como os limites laterais são diferentes, limxto 0f(x) não existe, embora g(x)<= f(x)<= h(x) e lim gneqlim h.
Resposta
Não. Se lim g(a)neqlim h(a), mesmo com g(x)<= f(x)<= h(x), o limite de f pode não existir (por exemplo, f(x)=sgn(x) entre -1 e 1 em a=0).