Determine pontos de máximos e mínimos locais, pontos de inflexão, intervalos de crescimento e decrescimento, assíntotas e esboçe o gráfico das funções abaixo:
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para estudar a função
e determinar
- pontos de máximo e mínimo locais,
- pontos de inflexão,
- intervalos de crescimento e decrescimento,
- assíntotas,
- e esboçar o gráfico.
Para isso vamos usar derivadas primeira e segunda, análise de domínio e comportamento nos extremos.
Passo 2
Determine o domínio e as assíntotas.
O domínio é . Há descontinuidade em
, logo vertical:
O domínio é
Para
temos
então
Passo 3
Calcule
e estude o sinal para monotonicidade.
Zeramos
em
. Em
analisamos o sinal de
:
- Para
: , (crescente). - Para
: , (decrescente). - Para
: , (crescente).
Passo 4
Classifique o ponto crítico
.
Como vai de negativo (em
) para positivo (em
), em
há mínimo local.
O valor é
Como
O valor é
Não há máximo local, pois não há outra troca de sinal de
.
Passo 5
Calcule
e encontre pontos de inflexão e concavidade.
A partir de ,
A partir de
Zeramos
em
. Como
sempre, o sinal de
segue o de
:
- Para
: (côncavo para cima). - Para
: (côncavo para baixo).
Logo
é ponto de inflexão com
Passo 6
Esboço qualitativo do gráfico unindo tudo:
- Ramo em
: cresce, é côncavo para cima, parte da assíntota (por baixo) e vai a em . - Ramo em
: decresce de em até o mínimo , mantém concavidade para cima até . - Ramo em
: cresce de em , muda para côncavo para baixo em , aproxima-se horizontalmente de quando .
Resposta
Domínio:
Intervalos de crescimento: e
Intervalo de decrescimento:
Mínimo local: em , valor
Máximo local: nenhum
Ponto de inflexão: em , valor
Assíntotas: vertical , horizontal
Esboço: conforme descrição no Passo .
Intervalos de crescimento:
Intervalo de decrescimento:
Mínimo local: em
Máximo local: nenhum
Ponto de inflexão: em
Assíntotas: vertical
Esboço: conforme descrição no Passo