Determine pontos de máximos e mínimos locais, pontos de inflexão, intervalos de crescimento e decrescimento, assíntotas e esboçe o gráfico das funções abaixo:
(c) f(x)=1x^2-1x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a função
f(x)=1x^2-1x
e determinar
  • pontos de máximo e mínimo locais,
  • pontos de inflexão,
  • intervalos de crescimento e decrescimento,
  • assíntotas,
  • e esboçar o gráfico.
    Para isso vamos usar derivadas primeira e segunda, análise de domínio e comportamento nos extremos.

Passo 2

Determine o domínio e as assíntotas.
O domínio é Rsetminus0. Há descontinuidade em x=0, logo vertical:
assíntota vertical: x=0 í
Para xtopminfty temos
f(x)=1-xx^2=-1x+1x^2to 0,
então
assíntota horizontal: y=0 í

Passo 3

Calcule f'(x) e estude o sinal para monotonicidade.
f(x)=x^-2-x^-1,
f'(x)=-2x^-3+x^-2=-2+xx^3=x-2x^3
Zeramos f'(x)=0 em x=2. Em xneq0 analisamos o sinal de x-2x^3:
  • Para x<0: x-2<0, x^3<0 Rightarrow f'>0 (crescente).
  • Para 0<x<2: x-2<0, x^3>0 Rightarrow f'<0 (decrescente).
  • Para x>2: x-2>0, x^3>0 Rightarrow f'>0 (crescente).

Passo 4

Classifique o ponto crítico x=2.
Como f' vai de negativo (em (0,2)) para positivo (em (2,infty)), em x=2 há mínimo local.
O valor é
f(2)=14-12=-14
Não há máximo local, pois não há outra troca de sinal de f'.

Passo 5

Calcule f''(x) e encontre pontos de inflexão e concavidade.
A partir de f'(x)=x^-2-2x^-3,
f''(x)=-2x^-3+6x^-4=-2x+6x^4=2(3-x)x^4
Zeramos f''(x)=0 em x=3. Como x^4>0 sempre, o sinal de f'' segue o de 3-x:
  • Para x<3: f''>0 (côncavo para cima).
  • Para x>3: f''<0 (côncavo para baixo).
Logo x=3 é ponto de inflexão com
f(3)=19-13=-29

Passo 6

Esboço qualitativo do gráfico unindo tudo:
  • Ramo em (-infty,0): cresce, é côncavo para cima, parte da assíntota y=0 (por baixo) e vai a +infty em xto0^-.
  • Ramo em (0,2): decresce de +infty em 0^+ até o mínimo (2,-tfrac14), mantém concavidade para cima até x=3.
  • Ramo em (2,infty): cresce de -tfrac14 em 2, muda para côncavo para baixo em x=3, aproxima-se horizontalmente de y=0 quando xto+infty.

Resposta

Domínio: Rsetminus0
Intervalos de crescimento: (-infty,0) e (2,infty)
Intervalo de decrescimento: (0,2)
Mínimo local: em x=2, valor f(2)=-tfrac14
Máximo local: nenhum
Ponto de inflexão: em x=3, valor f(3)=-tfrac29
Assíntotas: vertical x=0, horizontal y=0
Esboço: conforme descrição no Passo 6.

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