Usando uma mudança de coordenadas adequada, calcule o volume do sólido
nos seguintes casos:
é delimitado pelo parabolóide
, pelo plano
e pelo cilindro
2ax,
;
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido
limitado pelo paraboloide
pelo plano
e pelo cilindro
com
. O conteúdo é cálculo de integrais triplas e vamos usar coordenadas cilíndricas para simplificar as equações.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas tomamos
com o elemento de volume
Na nova descrição, o paraboloide fica
e o cilindro fica
Passo 3
Os limites para
vêm de
, logo
Para cada
,
varia de
até
. E, para dado
,
varia de
Passo 4
O volume é
Primeiro integramos em
:
Logo
Passo 5
Substituindo o limite superior em
:
Passo 6
Usamos a identidade de reduzida de potência:
Integrando de
a
, os termos com
e
somam zero, restando
Assim