Usando uma mudança de coordenadas adequada, calcule o volume do sólido Omega nos seguintes casos:
Omega é delimitado pelo parabolóide x^2+y^2=a z, pelo plano z=0 e pelo cilindro x^2+y^2= 2ax, a>0;

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido Omega limitado pelo paraboloide
x^2+y^2=a,z,
pelo plano ,z=0 e pelo cilindro
x^2+y^2=2a,x,
com a>0. O conteúdo é cálculo de integrais triplas e vamos usar coordenadas cilíndricas para simplificar as equações.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas tomamos
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z,
com o elemento de volume
dV = r,dz,dr,dtheta
Na nova descrição, o paraboloide fica
r^2=a,zLongrightarrow z=r^2a,
e o cilindro fica
r^2=2a,rcosthetaLongrightarrow r=2acostheta(costheta>=0)

Passo 3

Os limites para theta vêm de costheta>=0, logo
-pi2<=theta<=pi2
Para cada theta, r varia de 0 até 2acostheta. E, para dado (r,theta), z varia de
0<= z<= r^2a

Passo 4

O volume é
V = integraltheta=-pi/2^pi/2 integralr=0^2acostheta integralz=0^r^2/a r,dz,dr,dtheta
Primeiro integramos em z:
integralz=0^r^2/a r,dz = rcdotr^2a = r^3a
Logo
V = integral-pi/2^pi/2 integral0^2acostheta r^3a,dr,dtheta = 1a integral-pi/2^pi/2 l[r^44r]0^2acostheta ,dtheta

Passo 5

Substituindo o limite superior em r:
1aintegral-pi/2^pi/2 (2acostheta)^44,dtheta = 14aintegral-pi/2^pi/216,a^4cos^4theta,dtheta =4a^3integral-pi/2^pi/2cos^4theta,dtheta

Passo 6

Usamos a identidade de reduzida de potência:
cos^4theta = 3 + 4cos(2theta) + cos(4theta)8
Integrando de -tfracpi2 a tfracpi2, os termos com cos(2theta) e cos(4theta) somam zero, restando
integral-pi/2^pi/2cos^4theta,dtheta = integral-pi/2^pi/238,dtheta = 38cdotpi
Assim
V = 4a^3cdot3pi8 = 3pi,a^32

Resposta

V = 3pi,a^32

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