Determine pontos de máximos e mínimos locais, pontos de inflexão, intervalos de crescimento e decrescimento, assíntotas e esboçe o gráfico das funções abaixo:
(f) f(x)=1x^2+x

Passo 1

O enunciado pede a análise completa de
f(x)=1x^2+x
Incluindo domínio, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, extremos locais, concavidade e pontos de inflexão, e um esboço do gráfico. Vamos usar derivadas de primeira e segunda ordem, limites para assíntotas e o teste da concavidade.

Passo 2

Determinamos o domínio e as assíntotas verticais e horizontais por meio de limites.
Domínio
O denominador anula-se em x=0 e x=-1, logo
Dom(f)=Rsetminus-1,0
Assíntotas verticais
Calculamos os limites laterais em x=-1 e x=0:
limxto-1^-f(x)=+infty, limxto-1^+f(x)=-infty,
limxto0^-f(x)=-infty, limxto0^+f(x)=+infty
Assim x=-1 e x=0 são assíntotas verticais.
Assíntota horizontal
Para xtopminfty,
f(x)=1x^2+xsim1x^2to0
Logo y=0 é assíntota horizontal.

Passo 3

Obtemos a derivada primeira para estudar monotonia e extremos.
Calculamos
f'(x) =l(x^2+xr)^-1' =-(x^2+x)^-2,(2x+1) =-2x+1(x^2+x)^2
O numerador anula-se em 2x+1=0, ou seja x=-tfrac12. O denominador é sempre positivo em cada ramo do domínio.
  • Para x<-tfrac12, 2x+1<0 Rightarrow f'(x)>0.
  • Para x>-tfrac12, 2x+1>0 Rightarrow f'(x)<0.
Logo
f é crescente em (-infty,-1)cup(-1,-tfrac12), f é decrescente em (-tfrac12,0)cup(0,infty) éé
Em x=-tfrac12 a derivada muda de positiva para negativa, caracterizando um máximo local. O valor é
fl(-tfrac12r) =1l(-tfrac12r)^2+(-tfrac12) =1tfrac14-tfrac12=-4

Passo 4

A derivada segunda mostra concavidade e pontos de inflexão.
Partindo de
f'(x)=-2x+1(x^2+x)^2,
usando o quociente ou produto, chega-se a
f''(x) =2,x(x+1)l(3x^2+3x+1r)(x^2+x)^4 =2,(3x^2+3x+1)(x^2+x)^3
O numerador 3x^2+3x+1 não zera em R, então não há raízes de f''(x)=0. A concavidade muda apenas nos pontos onde f'' é indefinida, isto é em x=-1 e x=0. Desses pontos não surgem pontos de inflexão internos ao domínio.
Em cada ramo:
  • Para x< -1, x(x+1)>0 Rightarrow (x^2+x)^3>0 Rightarrow f''(x)>0 (côncavo para cima).
  • Para -1<x<0, x(x+1)<0 Rightarrow (x^2+x)^3<0 Rightarrow f''(x)<0 (côncavo para baixo).
  • Para x>0, x(x+1)>0 Rightarrow (x^2+x)^3>0 Rightarrow f''(x)>0 (côncavo para cima).
Logo não há pontos de inflexão no domínio.

Passo 5

Juntando tudo, temos quatro ramos do gráfico:
Ramo -infty<x<-1:
f>0, cresce de 0^+ (em -infty) até +infty (em -1^-), côncavo para cima.
Ramo -1<x<-tfrac12:
f<0, cresce de -infty (em -1^+) até -4 (em -tfrac12), côncavo para baixo.
Ramo -tfrac12<x<0:
f<0, decresce de -4 até -infty (em 0^-), côncavo para baixo.
Ramo 0<x<+infty:
f>0, decresce de +infty (em 0^+) até 0^+ (em +infty), côncavo para cima.
O esboço exibirá duas assíntotas verticais em x=-1 e x=0 e a horizontal y=0, com o pico negativo em l(-tfrac12,-4r).

Resposta

Domínio: Rsetminus-1,0
Crescente em (-infty,-1)cup(-1,-tfrac12)
Decrescente em (-tfrac12,0)cup(0,infty)
Máximo local em l(-tfrac12,-4r)
Não há mínimo local
Não há pontos de inflexão
Assíntotas verticais: x=-1, x=0
Assíntota horizontal: y=0

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