Determine pontos de máximos e mínimos locais, pontos de inflexão, intervalos de crescimento e decrescimento, assíntotas e esboçe o gráfico das funções abaixo:
(f)
(f)
Passo 1
O enunciado pede a análise completa de
Incluindo domínio, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, extremos locais, concavidade e pontos de inflexão, e um esboço do gráfico. Vamos usar derivadas de primeira e segunda ordem, limites para assíntotas e o teste da concavidade.
Passo 2
Determinamos o domínio e as assíntotas verticais e horizontais por meio de limites.
Domínio
O denominador anula-se em e
, logo
O denominador anula-se em
Assíntotas verticais
Calculamos os limites laterais em e
:
Calculamos os limites laterais em
Assim
e
são assíntotas verticais.
Assíntota horizontal
Para ,
Para
Logo
é assíntota horizontal.
Passo 3
Obtemos a derivada primeira para estudar monotonia e extremos.
Calculamos
O numerador anula-se em
, ou seja
. O denominador é sempre positivo em cada ramo do domínio.
- Para
, . - Para
, .
Logo
Em
a derivada muda de positiva para negativa, caracterizando um máximo local. O valor é
Passo 4
A derivada segunda mostra concavidade e pontos de inflexão.
Partindo de
usando o quociente ou produto, chega-se a
O numerador
não zera em
, então não há raízes de
. A concavidade muda apenas nos pontos onde
é indefinida, isto é em
e
. Desses pontos não surgem pontos de inflexão internos ao domínio.
Em cada ramo:
- Para
, (côncavo para cima). - Para
, (côncavo para baixo). - Para
, (côncavo para cima).
Logo não há pontos de inflexão no domínio.
Passo 5
Juntando tudo, temos quatro ramos do gráfico:
Ramo
:
, cresce de
(em
) até
(em
), côncavo para cima.
Ramo
:
, cresce de
(em
) até
(em
), côncavo para baixo.
Ramo
:
, decresce de
até
(em
), côncavo para baixo.
Ramo
:
, decresce de
(em
) até
(em
), côncavo para cima.
O esboço exibirá duas assíntotas verticais em
e
e a horizontal
, com o pico negativo em
.
Resposta
Domínio:
Crescente em
Decrescente em
Máximo local em
Não há mínimo local
Não há pontos de inflexão
Assíntotas verticais: ,
Assíntota horizontal:
Crescente em
Decrescente em
Máximo local em
Não há mínimo local
Não há pontos de inflexão
Assíntotas verticais:
Assíntota horizontal: