Usando uma mudança de coordenadas adequada, calcule o volume do sólido Omega nos seguintes casos:
Omega é delimitado pelos parabolóides x^2+y^2=z e x^2+y^2+1=2 z;

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido Omega limitado pelos paraboloides
x^2+y^2=z e x^2+y^2+1=2z
O conteúdo aqui é usar coordenadas cilíndricas (r,theta,z), pois x^2+y^2=r^2, e montar um integral triplo com o jacobiano r.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos as superfícies
zinf=r^2, zsup=r^2+12
Para determinar a projeção no plano rtheta, igualamos as duas superfícies:
r^2=r^2+12 ;Longrightarrow; 2r^2=r^2+1 ;Longrightarrow; r^2=1 ;Longrightarrow; 0<= r<=1,
e theta varia de 0 a 2pi.

Passo 3

O volume é
V=integral triplaOmegadV =integral0^2pi!integral0^1!integralzinf^zsupr,dz,dr,dtheta =integral0^2pi!integral0^1!integralr^2^tfracr^2+12r,dz,dr,dtheta

Passo 4

Calculamos a integral em z:
integralr^2^tfracr^2+12r,dz =rl(tfracr^2+12-r^2r) =rcdot1-r^22
Logo
V =integral0^2pi!integral0^1r(1-r^2)2,dr,dtheta =2picdot12integral0^1r(1-r^2),dr =piintegral0^1(r-r^3),dr
Agora
integral0^1(r-r^3),dr =l[tfracr^22-tfracr^44r]0^1 =12-14 =14

Resposta

V=picdot14 =pi4

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