Determine pontos de máximos e mínimos locais, pontos de inflexão, intervalos de crescimento e decrescimento, assíntotas e esboçe o gráfico das funções abaixo:
(e) f(x)=x^3+3 x^2+5

Passo 1

O enunciado pede a análise completa da função f(x)=x^3+3x^2+5: identificar extremos locais, pontos de inflexão, intervalos de crescimento e decrescimento, assíntotas e esboçar o gráfico. Vamos usar cálculo diferencial: derivada para monotonia e extremos, segunda derivada para concavidade e inflexões, e comportamento assintótico para assíntotas.

Passo 2

Calculemos a derivada primeira:
f'(x)=ddxl(x^3+3x^2+5r)=3x^2+6x=3x(x+2)
Os pontos críticos vêm de f'(x)=0, ou seja,
3x(x+2)=0Longrightarrow x=0ou x=-2

Passo 3

Determine o sinal de f'(x) em cada intervalo:
Para x<-2, temos x<0 e x+2<0 Rightarrow f'(x)=3x(x+2)>0.
Para -2<x<0, x<0 mas x+2>0 Rightarrow f'(x)<0.
Para x>0, x>0 e x+2>0 Rightarrow f'(x)>0.
Logo, f cresce em (-infty,-2)cup(0,infty) e decresce em (-2,0).

Passo 4

Como f' muda de positivo para negativo em x=-2, há um máximo local em x=-2.
Como f' muda de negativo para positivo em x=0, há um mínimo local em x=0.
Os valores são
f(-2)=(-2)^3+3(-2)^2+5=-8+12+5=9,
f(0)=0+0+5=5

Passo 5

Calculemos a segunda derivada:
f''(x)=ddxl(3x^2+6xr)=6x+6
O ponto de inflexão ocorre onde f''(x)=0, ou seja 6x+6=0 Rightarrow x=-1.
O valor é
f(-1)=(-1)^3+3(-1)^2+5=-1+3+5=7
Para x<-1, f''(x)<0 (concavidade para baixo); para x>-1, f''(x)>0 (concavidade para cima).

Passo 6

Como f é um polinômio de grau 3, não há assíntotas verticais nem horizontais ou oblíquas além do comportamento natural ( f(x)topminfty quando xtopminfty).

Passo 7

Esboço qualitativo do gráfico:
  • Ramo para xto-infty: f(x)to-infty.
  • Cresce até (-2,9) (máx. local), depois decresce até (0,5) (mín. local), depois cresce indefinidamente.
  • Ponto de inflexão em (-1,7), onde a concavidade muda.
  • Ramo para xto+infty: f(x)to+infty.

Resposta

Máximo local em l(-2,9r)
Mínimo local em l(0,5r)
Ponto de inflexão em l(-1,7r)
Cresce em (-infty,-2)cup(0,infty)
Decresce em (-2,0)
Não há assíntotas.

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