Determine pontos de máximos e mínimos locais, pontos de inflexão, intervalos de crescimento e decrescimento, assíntotas e esboçe o gráfico das funções abaixo:
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado pede a análise completa da função
: identificar extremos locais, pontos de inflexão, intervalos de crescimento e decrescimento, assíntotas e esboçar o gráfico. Vamos usar cálculo diferencial: derivada para monotonia e extremos, segunda derivada para concavidade e inflexões, e comportamento assintótico para assíntotas.
Passo 2
Calculemos a derivada primeira:
Os pontos críticos vêm de
, ou seja,
Passo 3
Determine o sinal de
em cada intervalo:
Para , temos
e
.
Para ,
mas
.
Para ,
e
.
Logo, cresce em
e decresce em
.
Para
Para
Para
Logo,
Passo 4
Como
muda de positivo para negativo em
, há um máximo local em
.
Como muda de negativo para positivo em
, há um mínimo local em
.
Os valores são
Como
Os valores são
Passo 5
Calculemos a segunda derivada:
O ponto de inflexão ocorre onde
, ou seja
.
O valor é
O valor é
Para
,
(concavidade para baixo); para
,
(concavidade para cima).
Passo 6
Como
é um polinômio de grau
, não há assíntotas verticais nem horizontais ou oblíquas além do comportamento natural (
quando
).
Passo 7
Esboço qualitativo do gráfico:
- Ramo para
: . - Cresce até
(máx. local), depois decresce até (mín. local), depois cresce indefinidamente. - Ponto de inflexão em
, onde a concavidade muda. - Ramo para
: .
Resposta
Máximo local em
Mínimo local em
Ponto de inflexão em
Cresce em
Decresce em
Não há assíntotas.
Mínimo local em
Ponto de inflexão em
Cresce em
Decresce em
Não há assíntotas.