Sejam x e y funções deriváveis de t e seja s=raizx^2+y^2 a distância entre os pontos (x, 0) e (0, y) no plano x y.
a) Como d sd t se relaciona com d xd t se y é constante?
b) Como d sd t se relaciona com d xd t e d yd t se nem x nem y são constantes?
c) Como d xd t se relaciona com d yd t se s é constante?

Passo 1

O enunciado define duas funções deriváveis x(t) e y(t) e a distância s(t)=√(x(t)^2 + y(t)^2) entre os pontos (x,0) e (0,y). Vamos usar a derivada de raiz quadrada e a regra da cadeia para relacionar ds/dt, dx/dt e dy/dt.

Passo 2

Para o item a), y é constante, logo dydt=0. Aplicando a regra da cadeia em s=raizx^2+y^2:
dsdt=12raizx^2+y^2cdotddt(x^2+y^2)
Mas
ddt(x^2+y^2)=2xdxdt+2ydydt=2xdxdt
Como s=raizx^2+y^2, obtemos
dsdt=12scdot2xdxdt=xsdxdt .

Passo 3

Para o item b), sem supor constantes, usamos a mesma derivada geral:
dsdt=12sl(2xdxdt+2ydydtr)=xdxdt+ydydts .

Passo 4

Para o item c), como s é constante, dsdt=0. Partindo da expressão geral do item b):
0=xdxdt+ydydt
Isolando dxdt:
dxdt=-yxdydt

Resposta

a) dsdt=xsdxdt;
b) dsdt=xdxdt+ydydts;
c) dxdt=-yxdydt.

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