Sejam
e
funções deriváveis de
e seja
a distância entre os pontos
e
no plano
.
a) Como
se relaciona com
se
é constante?
b) Como
se relaciona com
e
se nem
nem
são constantes?
c) Como
se relaciona com
se
é constante?
a) Como
b) Como
c) Como
Passo 1
O enunciado define duas funções deriváveis x(t) e y(t) e a distância s(t)=√(x(t)^2 + y(t)^2) entre os pontos (x,0) e (0,y). Vamos usar a derivada de raiz quadrada e a regra da cadeia para relacionar ds/dt, dx/dt e dy/dt.
Passo 2
Para o item a), y é constante, logo
. Aplicando a regra da cadeia em
:
Mas
Como
, obtemos
Passo 3
Para o item b), sem supor constantes, usamos a mesma derivada geral:
Passo 4
Para o item c), como s é constante,
. Partindo da expressão geral do item b):
Isolando
:
Resposta
a)
;
b) ;
c) .
b)
c)